¿Alguien podría ayudarme a plantear la función de este problema? No pido que me lo resuelvan, solo quiero ayuda en plantear la función.?
Una persona tiene una pared de piedra en el costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados, ¿qué dimensiones debe tener el corral para tener la mayor área posible?
Es un problema de máximos y mínimos de funciones. Gracias
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LLamando "x" al lado mayor del rectángulo, e "y" al menor, plantearás dos ecuaciones: la de la función a maximizar y la de la función "de apoyo".
* Función a maximizar (área del corral): A = x*y
Al ser un rectángulo, A = x*y (es la que hay que derivar e igualar a cero para obtener una de las dos variables)
* Función "de apoyo" (para relacionar entre sí las variables "x" e "y"): x+2y=1600
En este caso, sabes que dispones de 1600 m de material para hacer los 3 lados del nuevo corral rectangular ya que aprovechas como cuarto lado la pared existente. Interesa que esta pared coincida con uno de los lados mayores del rectángulo para que el resto de perímetro sea lo mayor posible con los 1600 m disponibles. Entonces x+2y=1600
Proceso a seguir:
- despejar, en la función de apoyo, una variable en función de la otra (x = 1600-2y)
- sustituir la variable despejada en la función a maximizar, que pasará a ser una función con una sola variable (A = x*y = (1600-2y)*y = 1600y-2y^2)
- derivar esta función respecto de esa variable, igualar a cero y obtener el valor de la variable
(A' = 1600-4y = 0 ---> 4y = 1600 ---> y = 400 m)
- obtener la otra variable, y se tendrán las dimensiones (x = 1600-2*400 = 800)
- por último, hallar la segunda derivada de la función a maximizar, sustituir el valor de la variable y comprobar que el resultado sale <0 (cuando es máximo) o >0 (si es mínimo)
(A'' = -4 < 0 ===> máximo)
:)