Verified answer

√(2x - 5) = 2 + √(x - 2)

2x - 5 ≥ 0 → 2x ≥ 5 → x ≥ 5/2 ← first condition

x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2 ← second condition

You join the 2 conditions and you can get only one: x ≥ 5/2

√(2x - 5) = 2 + √(x - 2)

√(2x - 5) - √(x - 2) = 2

[√(2x - 5) - √(x - 2)]² = 2²

[√(2x - 5)]² - 2.√[(2x - 5).(x - 2)] + [√(x - 2)]² = 4

2x - 5 - 2.√[(2x - 5).(x - 2)] + x - 2 = 4

- 2.√[(2x - 5).(x - 2)] = 11 - 3x

2.√[(2x - 5).(x - 2)] = 3x - 11

{ 2.√[(2x - 5).(x - 2)] }² = (3x - 11)²

4.(2x - 5).(x - 2) = 9x² - 66x + 121

4.(2x² - 4x - 5x + 10) = 9x² - 66x + 121

4.(2x² - 9x + 10) = 9x² - 66x + 121

8x² - 36x + 40 = 9x² - 66x + 121

8x² - 36x + 40 - 9x² + 66x - 121 = 0

- x² + 30x - 81 = 0

x² - 30x + 81 = 0

x² - (27x + 3x) + 81 = 0

x² - 27x - 3x + 81 = 0

(x² - 27x) - (3x - 81) = 0

x.(x - 27) - 3.(x - 27) = 0

(x - 3).(x - 27) = 0

First case: (x - 3) = 0 → x - 3 = 0 → x = 3

√(2x - 5) = 2 + √(x - 2) → when: x = 3

√(6 - 5) = 2 + √(3 - 2)

1 = 2 + 1 ← no possible

Second case: (x - 27) = 0 → x - 27 = 0 → x = 27

√(2x - 5) = 2 + √(x - 2) → when: x = 27

√(54 - 5) = 2 + √(27 - 2)

√49 = 2 + √25

7 = 2 + 5 ← ok

→ Solution = { 27 }

Hola

Faltan paréntesis importantes

Supongo

√(2 x - 5) = 2 + √(x - 2)

Elevamos al cuadrado

OJO

pueden aparecer raíces extrañas a la ecuación original.

Hay que verificar los resultados

2 x - 5 = (4) + (x - 2) + 2 (2) √(x - 2)

2 x- 5 = 4 + x - 2 + 4 √(x - 2)

4 √(x - 2) = 2 x - x - 5 - 4 + 2

4 √(x - 2) = x - 7

Elevamos al cuadrado

16 (x - 2) = x^2 - 14 x + 49

16 x - 32 = x^2 - 14 x + 49

x^2 - 30 x + 81 = 0

FÓRMULA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA

x₁;x₂ = { -(p) ± √[(p)² - 4(q)] }/(2)

x₁;x₂ = { -(-30) ± √[(-30)² - 4(81)] }/(2)

x₁;x₂ = { 30 ± √[900 - 324] }/(2)

x₁;x₂ = { 30 ± √[576] }/(2)

x₁;x₂ = { 30 ± 24 }/(2)

Primera posible solución

x1 = (30-24)/2 = 6/2 = 3

Verificamos

√(2 x1 - 5) = √(2*3 - 5) = √(6 - 5) = √1 = 1

2 + √(x1 - 2) = 2 + √(3 - 2) = 2 + √1 = 2 + 1 = 3

x1 NO es solución

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Segunda posible solución

x2 = (30+24)/2 = 54/2 = 27

Verificamos

√(2 x2 - 5) = √(2*27 - 5) = √(54 - 5) = √49 = 7

2 + √(x2 - 2) = 2 + √(27 - 2) = 2 + √25 = 2 + 5 = 7

x2 = 27

es la UNICA solución

Saludos

https://www.youtube.com/watch?v=Y5zCUpQy6Rw

aíslas una de las raíces (la dejas en un lado sin mas sumandos). Despues elevas al cuadrado los dos lados de la ecuacion. Despues, si aún te queda alguna raíz cuadrada (en tu caso te va a pasar), realizas lo mismo que antes: aislar y elevar al cuadrado. Si ya no quedan raíces, realizas la ecuación resultante como una cualquiera

...

√(2x-5) = 2+ √(x-2)

x = 27 <=======

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