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utiliza a y como una variable cuya derivada desconoces. es decir, a todo lo que tenga y, lo derivas con cadena y siendo y' dy/dx

derivamos en ambos lados---

( y^2 + x^2 = 25 ) '

2y * y' + 2x = 0

2y * y' = -2x

y' = -x/y

en tu otro ejemplo lo mismo:

(x^3 + y^3 = 6xy ) '

3x^2 + 3y^2*y' = 6(y + y' *x)

y' (3y^2 - x) = 6y - 3x^2

y' = (6y - 3x^2) / (3y^2 - x)

la derivación implícita es útil para obtener las tangentes de curvas que no necesariamente sean funciones... necesitarás tanto x como y para obtener la recta tangente.

La Derivacion Implicita es un metodo que se utiliza para obtener la Derivada de funciones en las cuales sus terminos no estan dados en funcion de una sola variable, si no que estan dados implicitamente.

En otras palabras, es un metodo que se utiliza para calcular Derivadas de funciones en las que Y no esta explicitamente dada en terminos de X.

El metodo consiste en seguir una serie de pasos.

Si tenemos la funcion X^2 + Y^2 = 25 primero derivamos con respecto de X en ambos miembros de la igualdad, pero a los terminos que derivamos y que contienen Y les vamos a agregar un factor Y' (Y prima):

2X + 2YY' = 0

Ahora agrupamos los terminos que contienen Y' de un lado y los que no del otro:

2YY' = -2X

Y ahora despejamos Y', y nos queda la derivada:

Y' = (-2X)/(2Y) = F'(X)

Vallamos al otro caso, siguiendo los mismos pasos...

X^2 + Y^2 = 6XY

Derivamos respecto de Y en ambos miembros de la igualdad, pero a los terminos que tienen Y les agregamos el factor Y':

2X + 2YY' = 6Y'

Despejamos los terminos que contienen Y' a un lado de la igualdad y los que no tienen Y' al otro lado:

2YY' - 6Y' = -2X

Ahora agregamos un paso intermedio (porque hay mas de un termino con Y'), y sacamos factor comun Y':

Y'.[2Y - 6] = -2X

Ahora despejamos Y', y nos queda la derivada:

Y' = (-2X) / (2Y - 6) = F'(X)

Saludos.