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Apreciado amigo, factoricemos primero la ecuación de la esfera:

x² + y² + z² + 6y - 4z + 9 = 0 =>

x² + y² + 6y + z² - 4z + 9 = 0

debemos completar los cuadrados "y" y en "z":

primero con y:

(y+a)² = y² + 2ay + a² =>

2ay = 6y =>

a = 6/2 =>

a = 3

(y+3)² = y² + 6y + 9 ❶

ahora con z:

(z+b)² = z² + 2bz + b² =>

2bz = -4z =>

b = -4/2 =>

b= -2

(z-2)² = z² - 4z + 4 ❷

como se observa en ❶ y ❷, la suma de los términos independientes es 9+4=13, y en la ecuación original solo tenemos 9, por lo tanto debemos agregar 4 a ambos miembros y así podr formar los binomios cuadrados:

x² + y² + 6y + z² - 4z + 9 = 0 =>

x² + y² + 6y + z² - 4z + 9 + 4 = 0 + 4 =>

x² + (y+3)² + (z-2)² = 2²

por lo tanto, la esfera tiene su centro en C(0,-3,2) y su radio es r=2

Ahora debemos hallar la distancia entre el centro de las esfera y el Plano dado. Recordemos la ecuación de la distancia entre un punto y un plano:

distancia (C,π) = | [(A)Cx+(B)Cy+(C)Cz+D] / √(A²+B²+C²) |

donde A, B, C son los coeficientes de las variables x, y, z del plano respectivamente y D el tèrmino independiente, mientras que Cx, Cy, Cz son las coordenadas del punto. Por lo tanto:

distancia (C,π) = | [(2)(0)+(-3)(-3)+(2)(2)+4] / √(2²+(-3)²+2²) | =>

distancia (C,π) = | (9+4+4) / √(4+9+4) | =>

distancia (C,π) = | 17 / √17 | =>

distancia (C,π) = 17√17 / (√17)(√17) =>

distancia (C,π) = 17√17 / (√17)² =>

distancia (C,π) = 17√17 / 17 =>

distancia (C,π) = √17

entonces, la esfera concéntrica tiene el mismo centro de la esfera dada, pero su radio es r = √17:

x² + (y+3)² + (z-2)² = √(17)² =>

x² + (y+3)² + (z-2)² = 17 ECUACION SOLICITADA

Espero haber podido ayudarte. Saludos!

x²+y²+6y + z²-4z = -9

x²+(y+3)²+(z-2)²=9+4-9

x²+(y+3)²+(z-2)²=2² --> Esfera de centro C(0, -3, 2) y radio r=2

d(C, plano) = |2·0-3·(-3)+2·2+4|/√(2²+3²+2²) = 17/√17= √17

==> Esfera solicitada: x²+(y+3)²+(z-2)²= 17

Saludos