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Sabiendo el vertice es muy sencillo determinar la forma canonica de la parabola. Esta responde a:

y=a(x-x(v))^2+y(v), donde (x(v) ; y(v)) son las coordenadas del vertice, en este caso:(2,3), Solo falta determinar a. Para esto usamos el dato que f(0)=0 (es el otro pto . que te dan que pertence a la parabola). Asi planteas:

0=a(0-2)^2+3 y despejas a, que vale: a=-3/4. Entonces la ecuacion canonica es:

y= -3/4(x-2)^2+3

Para la formula polinomica desarrollas la canonica y listo, esto es desarrollar el cuadrado de un binomio y sumarle tres. O sea:

y= -3/4(x^2-2.2.x +2^2)+3= -3/4(x^2-4x+4) +3

y=-3/4 x^2 -3x

Por ultimo para la forma factorizada necesitamos saber las raices de la parabola. Para esto tenemos dos caminos:

I) Usando la simetria de la parabola, acordate que el eje de simetria es la ecuacion x=2 (el x del vertice) y si la dibujas vas a ver que la distancia de 0 a 2 tiene que ser la misma que de 2 al otro cero(todo esto hablando con y=0 cte.), asi el otro cero debe ser 2+2=4.

II) Sino resolves la ecuacion -3/4 x^2-3x=0.

Como mas te guste, ya sacamos que los ceros son 0 y 4, ahora para la expresar la parabola en forma factorizada tenemos que seguir la siguiente estreuctura:

y=a(x-x(1))(x-x(2)), donde x(1) y x(2) son los ceros o raices y a es el coeficiente principal que ya lo tenemos. Asi queda:

y= -3/4.(x-2)(x-4)

Suerte, espero que te sirva...

Forma canónica 2p (y-3)=(x-2)^2

como pasa por (0,0) -6p=4; 2p=-4/3

Forma canónica -4/3 · (y-3)= (x-2)^2.

y-3=-3/4(x^-4x+4)

Forma polinómica y=-3/4 x^2 +3x

Forma factorizada y=-3/4 · x · (x-4)

Saludos.

La formula canonica de una ecuacion cuadratica es:

y = a(x - xv)² + yv

Entonces reemplazo con los valores del vertice

y = a(x - 2)² + 3

Como pasa por el punto (0 ; 0)

0 = a(0 - 2)² + 3

0 - 3 = a * 4

- 3/4 = a

La ecuacion canonica es

y = - 3/4(x - 2)² + 3

Para calcular la expresion polinomica resolve la ecuacion anterior

y = - 3/4(x - 2)² + 3

y = - 3/4(x² - 4x + 4) + 3

y = - 3/4 x² + 3x - 3 + 3

y = -3/4 x² + 3x

Para expresar la ecuacion en forma factorizada tenes que igualar a cero y calcular las raices

- 3/4 x² + 3x = 0

x * ( - 3/4 x + 3) = 0

x = 0

- 3/4 x + 3 = 0

- 3/4 x = - 3

x = - 3 / ( -3/4)

x = 4

y = - 3/4 x * ( x - 4)

Saludos!!!