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Dado un espacio vectorial V, una base es un conjunto de vectores v1, v2, ..., vn que:

i) Son linealmente independientes, y

ii) Generan al espacio vectorial V

El que sean linealmente independientes significa que cualquier combinación lineal de los vi: a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 si y solo si todos los ai son 0. Los ai son escalares de cualquier campo.

El que generen al espacio vectorial V quiere decir que cualquier vector v en V puede escribirse como combinación lineal de los elementos de la base.

En IR², por ejemplo, (1, 2) y (3, 4) son una base, proque se pueden verificar que son linealmente independientes (no estan en la misma recta y por lo tanto cualquier combinacion lineal de ellos es cero si y solo si los escalares son cero) y ademas cualquier (x, y) en IR² puede escribirse como combinación lineal de esos vectores. Para ver eso se ve que el sistema de ecuaciones que resulta de

(x, y) = a(1, 2) + b(3, 4) tiene solución unica. (Verifícalo, es facil)

Pero esa nooo es una base canónica, una base canónica (por fin lo que buscas!!!) es (0, 1) y (1, 0), que son vectores unitarios y ortogonales (ortonormales: perpendiculares y de norma 1).