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Hola.....

esta integral por método tabular, significa buscar la fórmula en las TABLAS DE DERIVACIÓN....

Pero también se puede sacar ( muy laboriosamente) aplicando 3 veces ( reiteradamente) el método de integración por partes....

Int ( u . dv ) = u . v - int( v du ) ...

llamando "u" a la función potencial ( que al derivarla baja un grado cada vez) así :

u = x ^3 ==> du = 3 x^2 dx siendo v = int ( 3^x . dx) = 3^x / ln 3

int( x^3 . 3^x . dx ) =

....................= ( x^3 . 3^x / ln 3 ) - int( 3 x^2 . (3^x / ln3) . dx ) =

....................= ( x^3 . 3^x / ln 3 ) - ( 3/ ln3) int( x^2 . 3^x . dx ) <== que nuevamente integramos por partes

u = x^2 ==> du = 2 x dx ; v = int ( 3^x dx) = 3^x / ln 3

int( x^3 . 3^x . dx ) =

................= ( x^3 . 3^x / ln 3 ) - ( 3/ ln3) [ x^2 . 3^x / ln3 - int ( 2 x (3^x / ln3) . dx ) ] =

................= ( x^3 . 3^x / ln 3 ) - (3. x^2 . 3^x / ln² 3 ) + (6/ln² 3 ) int( x. 3^x. dx ) <== nuevamente se resuelve por partes .....

u= x ==> du = dx ; v = int ( 3^x. dx ) = 3^x / ln 3 -----> resultando

int( x^3 . 3^x . dx ) =

= ( x^3 . 3^x / ln 3) - (3. x^2 . 3^x / ln² 3 ) + (6/ln² 3 )[(x . 3^x / ln 3) - int( (3^x / ln 3).dx]=

= ( x^3 . 3^x / ln 3) - (3. x^2 . 3^x / ln² 3 ) + ( 6 . x . 3 ^x / ln³ 3 ) - ( 6.3^x /ln^4 3) + C

Para verificar deberás derivar todo esto.... teniendo en cuenta que ( ln 3 ) es constante , si lo elevas al cuadrado o al cubo o a la cuarta , también...

y el producto de x^3 . 3^x es un producto de dos funciones .. por lo que su derivada es del tipo

( u. v) ` = u`. v + u . v `

Resultando:

[( x^3 . 3^x / ln 3 ) - (3. x^2 . 3^x / ln² 3 ) + (6 . x . 3 ^x / ln³ 3 ) - ( 6.3^x /ln^4 3) + C ]` =

en todos los términos saco las constantes y derivo los productos

(1/ ln3) . ( 3x^2 . 3^x + x^3 . 3^x ln 3 ) - ( 3/ln² 3) ( 2 x . 3^x + x^2 . 3^x ln 3 ) +......

...+ ( 6/ ln³ 3) ( 1. 3^x + x . 3^x ln 3 ) - ( 6/ ln ^4 3 ) ( 3^x ln 3 ) + 0

aplico distributiva para comparar los términos semejantes y poder reducirlos ...

( 3. x^2 . 3^x / ln 3) + ( x^3 . 3^x ) - ( 6. x. 3^x / ln² 3 ) - ( 3. x^2 . 3^x / ln 3) +.....

....+ ( 6 . 3^x/ ln³ 3 ) + ( 6. x. 3^x / ln ² 3) - ( 6 . 3^x / ln³ 3 )

que cancelando los términos opuestos resulta

x^3 . 3^x igual a la función del integrando , por lo que se verifica .-

:D