Se puede factorizar aplicando el teorema del resto y la regla de Ruffini que me dicen conjuntamente que x-a (sien a un número natural, esto es, sin decimales) puede ser divisor de un polinomio sólo cuando a divide al término independiente
Como 5 sólo tiene los divisores 5, -5 1 y -1 pruebo a dividir x^3 +2x^2+6x+5 entre x-1 luego entre x+1, entre x-5 y entre x+5.
De todas esas divisiones sólo sale exacta (es decir, con resto cero) la división entre x+1
Resto = cero
Cociente = x^2 +x+5
Por tanto x^3 +2x^2+6x+5 =(x+1)(x^2+x+5)
Ya no hay más raíces enteras, incluso ni raíces reales porque el polinomio x^2+x+5 tiene discriminante negativo: la ecuación x^2+x +5=0 no tiene soluciones reales
(si has estudiado números complejos ya, podríamos continuar. Avísame si ese es el caso)
Oye, te digo esto, cuando el grado del polinomio es mayor que dos, el proceso para hallar las raices puede complicarse demasiado en ocasiones segun el polinomio. Por lo prevalent se uliza una regla para esos polinomios, l. a. cual sirve en ciertas ocasiones pero en otras no es posible utilizarla. l. a. regla consiste en formar los numeros fraccionarios que se obtienen de dividir todos los divisores positivos y negativos del termino independiente del polinomio por lo divisores del coeficiente important. en el caso que muestras seria, dividir los divisores de 5 que son a million, -a million, 5, -5 por lo divisores de a million que son a million y -a million. Esos resultados son las posibles raices de tu polinomio y lo que se deberia hacer luego es tantear cual de ellas es raiz. No siempre alguna sera raiz y en ese caso el proceso se complica bastante. El polinomio que propones:x3-3x+5, no tiene raices reales y el proceso para hallar las raices no creo que este a tu nivel asi que no tiene sentido que te lo explique porque no lo entenderas, deja ese polinomio y en todo caso deberas consultar con tu profesor/a las formas que se dispondran para factorizar. ------------------------------------ Rol te dijo que no se puede pero en realidad si, se puede, lo que pasa es que el proceso para logarrlo requiere de disponer de herramientas matematicas que seguramente no dispones y no dispondras sino en caso de llegar a l. a. universidad y estudiar algo como matematicas, fisica, ingenieria o alguna carrera con buena carga de matematicas. Cualquier polinomio, sea a coeficientes reales o complejos puede factorizarse, eso te lo aseguro.
podes ponerlo en funcion de sus raices con el metodo de gauss-ruffini.
1 - primero tenes que buscar un divisor de la sieguiente manera
Divisor termino independiente / divisor coeficiente principal
-divisor termino independiente : 5 , 1
-divisor coefieciente principal : 3 , 1
ahora busca todas las divisiones posibles entre el DTI y el DCP, esto da los siguientes numeros:
+-5/3 , +-5 , +-1/3 , +-1/3
esto es un metodo de ensayo y error y tenes que probar con todos los numeros anteriores, armemos la tabla de ruffini y probemos dividiendo la expresion en -1
-----1----2-----6---- 5
-1------- -1--- -1--- -5
-----1----1-----5-----0
vemos que el resto dá 0, por lo tanto -1 es una raiz del polinomio, entonces
P(x) = (x+1)(x²+x+5)
ahora la expresion que te quedo resulta ser una expresion cuadratica que facilmente podes sacar sus raices con la ecuacion de 2 grado, pero hay un problema y es que la expresion cuadratica tiene discriminante negativo y por lo tanto raices complejas, por lo tanto la expresion queda:
P(x) = (x+1)(x²+x+5)
y listo el pollo
Nota: si la expresion es de grado 4 entonces aplica ruffini 2 veces hasta que quede una expresion cuadratica y sacar las otras raices..
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PRIMER MÉTODO
Se puede factorizar aplicando el teorema del resto y la regla de Ruffini que me dicen conjuntamente que x-a (sien a un número natural, esto es, sin decimales) puede ser divisor de un polinomio sólo cuando a divide al término independiente
Como 5 sólo tiene los divisores 5, -5 1 y -1 pruebo a dividir x^3 +2x^2+6x+5 entre x-1 luego entre x+1, entre x-5 y entre x+5.
De todas esas divisiones sólo sale exacta (es decir, con resto cero) la división entre x+1
Resto = cero
Cociente = x^2 +x+5
Por tanto x^3 +2x^2+6x+5 =(x+1)(x^2+x+5)
Ya no hay más raíces enteras, incluso ni raíces reales porque el polinomio x^2+x+5 tiene discriminante negativo: la ecuación x^2+x +5=0 no tiene soluciones reales
(si has estudiado números complejos ya, podríamos continuar. Avísame si ese es el caso)
SEGUNDO MÉTODO
A lo bestia (es decir, sacando factor común)
(Sólo para “máquinas” de las matemáticas)
x^3 +2x^2+6x+5 = x^3 +x^2 +x^2 +6x+5 = x^3 + x^2 + x^2 + 5x + x + 5 =
x^2(x+1)+x(x+5)+x+5 = x^2(x+1) + (x+1)(x+5) = (x^2+x+5)(x+1)
x^3 + 2x^2 + 6x +5
x^3 + x^2+x^2 + x +5x +5
(x^3 + x^2)+(x^2 + x) +(5x +5)
x^2(x+1)+x(x+1)+5(x+1)
(x+1)(x^2+x+5) esta seria la ecuacion factorizada )D.
Oye, te digo esto, cuando el grado del polinomio es mayor que dos, el proceso para hallar las raices puede complicarse demasiado en ocasiones segun el polinomio. Por lo prevalent se uliza una regla para esos polinomios, l. a. cual sirve en ciertas ocasiones pero en otras no es posible utilizarla. l. a. regla consiste en formar los numeros fraccionarios que se obtienen de dividir todos los divisores positivos y negativos del termino independiente del polinomio por lo divisores del coeficiente important. en el caso que muestras seria, dividir los divisores de 5 que son a million, -a million, 5, -5 por lo divisores de a million que son a million y -a million. Esos resultados son las posibles raices de tu polinomio y lo que se deberia hacer luego es tantear cual de ellas es raiz. No siempre alguna sera raiz y en ese caso el proceso se complica bastante. El polinomio que propones:x3-3x+5, no tiene raices reales y el proceso para hallar las raices no creo que este a tu nivel asi que no tiene sentido que te lo explique porque no lo entenderas, deja ese polinomio y en todo caso deberas consultar con tu profesor/a las formas que se dispondran para factorizar. ------------------------------------ Rol te dijo que no se puede pero en realidad si, se puede, lo que pasa es que el proceso para logarrlo requiere de disponer de herramientas matematicas que seguramente no dispones y no dispondras sino en caso de llegar a l. a. universidad y estudiar algo como matematicas, fisica, ingenieria o alguna carrera con buena carga de matematicas. Cualquier polinomio, sea a coeficientes reales o complejos puede factorizarse, eso te lo aseguro.
Piyo, fijate 3 no divide al coeficiente principal
Las posibles raíces racionales son 1, -1, 5, -5
Descartemos los positivos porque una suma sde positivos no puede ser cero
P(-1) = -1 + 2 -6 + 5 = 0
-1 es raíz, dividimos el polinomio por (x+1)
x^3 + 2 x^2 + 6x + 5 = (x+1) (x^2 + x +5)
Hallamos las raíces del trinomio por la fórmula resolvente
b^2 - 4 a c= 1 - 4 *1 *5 = -19 < 0 no tiene más raíces reales
Queda factorizado así
podes ponerlo en funcion de sus raices con el metodo de gauss-ruffini.
1 - primero tenes que buscar un divisor de la sieguiente manera
Divisor termino independiente / divisor coeficiente principal
-divisor termino independiente : 5 , 1
-divisor coefieciente principal : 3 , 1
ahora busca todas las divisiones posibles entre el DTI y el DCP, esto da los siguientes numeros:
+-5/3 , +-5 , +-1/3 , +-1/3
esto es un metodo de ensayo y error y tenes que probar con todos los numeros anteriores, armemos la tabla de ruffini y probemos dividiendo la expresion en -1
-----1----2-----6---- 5
-1------- -1--- -1--- -5
-----1----1-----5-----0
vemos que el resto dá 0, por lo tanto -1 es una raiz del polinomio, entonces
P(x) = (x+1)(x²+x+5)
ahora la expresion que te quedo resulta ser una expresion cuadratica que facilmente podes sacar sus raices con la ecuacion de 2 grado, pero hay un problema y es que la expresion cuadratica tiene discriminante negativo y por lo tanto raices complejas, por lo tanto la expresion queda:
P(x) = (x+1)(x²+x+5)
y listo el pollo
Nota: si la expresion es de grado 4 entonces aplica ruffini 2 veces hasta que quede una expresion cuadratica y sacar las otras raices..
Suerte, que te ayude....
Estoy de acuerdo con piyo...
X(x^2 + 2x + 6) + 5