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Debe separarse el valor absoluto en las dos formas (positiva y negativa), y luego se derivan por separado. Es decir, tendrás dos derivadas.

Ejemplos:

1) y=|x+3|; hallo el valor de corte (y=0):

x+3=0; x=-3

Para x>-3:

y=x+3; y'=1

Para x<-3: Simplemente paso (x+3) a -(x+3)=-x-3:

y=-x-3; y'=-1

Si x=-3, no es derivable.

Si haces la gráfica, observas que es una recta, que siempre está por encima del eje x (esto ocurre con todos los módulos, porque sólo tomarán valores positivos). En el intervalo: )-infinito; -3( tiene una pendiente negativa, a 135° (y'=-1); en el intervalo )-3; +infinito( tiene una pendiente positiva, a 45° (y=1).

2) y=|3x-x^2|

Hallo los valores de corte (cuando el módulo vale 0):

Se trata de una parábola de vértice superior (término cuadrático negativo), por lo que en la parte central (entre los valores de x para y=0), tendrá y el mismo valor con que sin el módulo; en las ramas, se cambiarán el signo.

3x-x^2=0

x(3-x)=0; dos valores posibles: 0; 3

Es decir que ahora haremos:

Para el intervalo abierto )0; 3(:

y=3x-x^2; y'=3-2x

Para los intervalos abiertos )-infinito; 0( U )3; +infinito(:

y=x^2-3x; y'=2x-3

No es derivable en x=0 ni en x=3.

Observemos que para los intervalos )-infinito; 0( U )3; +infinito(:

Hacia la izquierda de x=0, y' es negativa (porque x es negativa, multiplicada por 2 y restado 3, es un negativo siempre).

Hacia la derecha de x=3, y' es positiva (porque x es positiva y mayor de 3, multiplicada por 2 es mayor de 6, y, aunque se le reste 3, siempre es positiva).

Cuidado!! La derivada f(x)=[x] no es para nada la que te acaban de poner de 1/x, esa es la de f(x)=lnx. Ahora si, la derivada de un valor absoluto se hace por casos, primero haz el caso positivo, y luego el negativo. Asi, vas a tener dos derivadas.

Te recomiendo que expreses la función del valor absoluto como dos funciones de intervalos, x<0 y x>0, entonces te resultará más fácil derivar las dos expresiones.

y=ABS(X)

y=X SI X>0 y=-X si X<0

dy/dx= 1 si X>0 dy/dx=-1 si X<0

no, ninguna de las dos.

existe una lista de derivadas, en ella dice que:

f(x)= |x|

entonces la derivada de eso es

f '(x)= 1/x

es así , igualmente te recomiendo que busques este lista de derivadas fundamentales, allí veras todas las derivadas fundamentales