Verified answer

Hola te voy a enseñar uno mas facil que el de todos los anteriores,

Por ejemplo que te dan el vector (1,2,3) y te dicen q encuentres un vector ortogonal a ese, entonces sabemos que si el producto escalar entre dos vectores da cero es porque son ortogonales

entonces utilizamos el vector genérico (x,y,z)

V=(1,2,3)

U=(x,y,z)

hacemos el producto escalar entre los dos

(1,2,3).(x,y,z) = x+2y+3z

como queremos que sea perpendicular el resultado tiene que ser cero

entonces x+2y+3z=0 . Esta ecuacion es la ecuacion de la familia de vectores perpendiculares a V=(1,2,3)

Ahora solo tenés que buscar un vector que cumple la ecuacion y ya esta

ejmplo (-1,-1,1)

x+2y+3z=0

-1+2.(-1)+3.1=0

-3+3= 0

0=0 por lo tanto (-1,-1,1) cumple la ecuación entonces es perpendicular (1,2,3).

Y asi todos los vectores q cumplan con esa ecuacion son perpendiculares. =) es mas facil asi no?

tienes tu vector "dato" que vamos a llamar U1

ahora simplemente agarra un segundo vector cualquier que vas a llamar U2

ahora para volver U2 ortogonal a U1:

tus vectos nuevos serán:

V1=U1

V2= U2 - [ (U2.U1) / (U1.U1) ] * U1

ejemplo:

U1= (1,0,2) agarro un vector cualquier U2=(1,2,1)

V1=(1,0,2)

V2= (1,2,1) - (3)/(5) * (1,0,2)

V2= (1-3/5 , 2, 1-6/5)

V2= (2/5 , 2, -1/5)

probemoslo:

V1.V2 = 0

2/5-2/5 = 0

El plano dado tiene un vector ortogonal base que es el (3,2,-4); observa que son los coeficientes de l. a. ecuacion known delplano Cualquier vector paralelo a él es decir un vector de l. a. forma(3k,2k,-4k) donde ok es numero actual, es tambien ortogonal a dicho plano

Lo que te han dicho es correcto y otra forma de resolver tu problemas es empleando la ley los cosenos.

Imagina que tienes dos vectores, uno horizontal y el otro formando un determinado ángulo con el otro. Me gustaría que los dibujaras para una mayor comprensión. Al vector horizontal llámalo “a” y al oblicuo “b” en donde puedes ver que si restas esos vectores, tendrás que la resultante “c” es igual a:

c= a – b

Efectuando el PRODUCTO PUNTO tienes:

c*c = (a-b)(a-b) = a^2 + b^2 -2ab*co(a,b)….(1)

siendo (a,b) el ángulo formado entre esos vectores.

Ahora, como dices que los dos vectores deben ser perpendiculares, el ángulo (a, b) = 90° y cos 90° = 0 por lo que ( 1 ) te queda:

C^2 = a^2 + b^2

Que es el Teorema de Pitágoras en donde los vectores son perpendiculares

TE DEJO ESTE ENLACE:

http://www.geoan.com/vectores/ortogonales.html

Bien Sofía, ya iba a preguntarte en dónde está ese vector al que quieres encontrarle un par ortogonal, pero seguí leyendo y me confirmaste en tu pregunta que estás en IR³, que es donde puedes encontrar 2 vectores (linealmente independientes) de uno dado, en IR² sólo puedes encontrar uno.

Bueno, supongamos que el vector (no nulo) que ya tienes es:

v = (a, b, c)

Tú quieres uno ortogonal a v (aunque podrías encontrar dos l.i.)

Asignando coordenadas x, y y z a los vectores ortogonales a v, digamos que éstos son:

u = (x, y, z)

se tiene que, si u y v son ortogonales, entonces el producto interno de ambos es nulo, es decir:

u . v = 0

ó

ax + by + cz = 0

Ahora, alguna de las tres coordenadas a, b o c es no nula, porque u ≠ 0, supongamos que a ≠ 0,

Si b = 0 y c = 0, entonces

v = (a, 0, 0)

y dos vectores ortogonales a v, no uno como pides, son:

u = (0, 1, 0) y w = (0, 0, 1),

fíjate que los vectores u, v y w así elegidos son ortogonales y, por lo tanto, l.i.

si alguna de las coordenadas b ó c son no nulas, supongamos b ≠ 0, entonces puedes tomar

x = 1, y = -(a/b) y z = 0,

que así los vectores

u y v son ortogonales (realiza su producto interno y verás que da cero)

Con estos dos vectores: u y v, puedes realizar el producto vectorial u x v para obtener un tercero ortogonal a u y v.

También puedes usar lo que te recomienda Daniel: el proceso de ortogonalización de Gramm-Scmidt, pero puede que aún no conozcas ese proceso. A ese colaborador ya le pongo "pulgares arriba", se lo merece

Sé anarquista.

Un vector ortogonal es perpendicular a otro, es decir que forma un ángulo de 90º.

Si trabajas en 3D necesitas usar producto vectorial, que halla un vector perpendicular a 2 vectores originales. Para eso necesitas 2 vectores con sus datos ( i j k)

Si trabajas en el plano (osea en 2D) necesitas un vector y hallar el opuesto a ese vector. ¿Cómo se hace? bueno, por ejemplo tienes el vector: U:(3,5) entonces necesitas el opuesto de uno de los componentes, no importa cuál) y cambiado de lugar. Si el vector es (3,5) su ortogonal es el (5,-3) o (-5,3) da igual.