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Estimada amiga, recordemos que cuando dos vectores son perpendiculares; su producto escalar es igual a 0. Esto se puede evvidenciar de la fórmula del producto escalar de dos vectores:

a•b = |a||b|cos(θ)

siendo:

|a| = módulo del vector a

|b| = módulo del vector b

θ = ángulo que forman los vectores a y b

cuando θ = 90°, entonces:

a•b = |a||b|cos(90°)

pero cos(90°) = 0

por lo tanto, cuando θ = 90°, entonces:

a•b = 0

Vamos con un ejemplo práctico. Encontremos un vector que sea perpendicular al vector (1,3,2)

llamaremos (x,y,z) al vector perpendicular. Entonces se debe cumplir que:

(1,3,2)•(x,y,z) = 0

desarrollemos el producto escalar:

(1)(x) + (3)(y) + (2)(z) = 0 ⇒

x + 3y + 2z = 0

la ecuación anterior tiene infinitas soluciones. Entonces, daremos valores arbitrarios a dos de las incógnitas, y hallaremos el valor de la tercera. Daremos los siguientes valores arbitrarios:

x = 3

y = 5

hallemos z:

3 + 3(5) + 2z = 0 ⇒

3 + 15 + 2z = 0 ⇒

18 + 2z = 0 ⇒

z = -18/2 ⇒

z = -9

por lo tanto, el vector (3,5,-9) es perpendicular al vector (1,3,2)

Espero haber podido ayudarte. Saludos y Feliz Año 2012!

sabes que hay todo un plano perpendicular a (a,b,c) verdad?.

bueno una forma muy general es con el método de gram-schmidt, en este caso buscas un vector que no sea múltiplo escalar de v=(a,b,c) (no te sirve (2a,2b,2c) ni (-a,-b,-c) por ejemplo)

llamalo w, un vector w-(v,w)/(v,v)*v es un vector perpendicular v,[ w=(e,d,f) (v,w)=ae+bd+cf es el producto interno] esto sirve para espacios de dimensión mas grandes.

como ejemplo v=(2,1,3) y w=(5,0,6) (v,w)=5*2+0*1+6*3=28, (v,v)=2*2+1*1+3*3=14, el vector

w-(v,w)/(v,v)*v=(5,0,6)-2*(2,1,3)=(1, -2, 0).

puedes comprobar que es perpendicular a (2,1,3).

graficamente para un v eliges un w que no esté en la misma dirección, v y w forman un plano y el vector que hallas es perpendicular a v en ese plano.

En el espacio tridimensional, el conjunto de vectores ortogonales a un vector (a,b,c) tiene dimensión dos, si el vector es no nulo. En el caso del vector cero, todos los vectores son ortogonales a el. En general, ninguno de ellos va a ser "preferido" a los demás, como si era el caso en el plano bidimensional.

Si a≠0, todo vector ortogonal a (a,b,c) es de la forma (-b,a,0)y+(-c,0,a)z, con y,z reales

Si b≠0, todo vector ortogonal a (a,b,c) es de la forma (0,-c,b)z+(b,-a,0)x, con x,z reales

Si c≠0, todo vector ortogonal a (a,b,c) es de la forma (c,0,-a)x+(0,c,-b)y, con x,y reales

Por ejemplo, dado el vector (1,-2,1/2), todo vector ortogonal es de la forma (2,1,0)y+(-1/2,0,1)z con y y z reales.