¿como ´podria resolver este ejercicio?
Speddy Sue manejando a 30 m/s se encuentra en un tunel de un solo carril. despues observa una camioneta que se mueve despacio155 m adelante viajando a 5 m/s. Sue aplica sus frenos pero puede desacelerar sólo a 2 m/s^2, debido a que el camino está humedo. ¿ chocará? si es así, determine a que distancia dentro del tunel y en que tiempo ocurre el choque. si no, determine la distancia de máximo acercamiento entre el auto de Sue y la camioneta .
gracias!!! XD
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Antes de plantear las ecuaciones, prefiero hacer un pequeño razonamiento intuitivo, basado en la simple experiencia personal de recorrer una ruta. Esto permitirá interpretar mejor el resultado que obtendremos con el desarrollo.
Imaginemos que en vez de un solo carril hay dos y que la camioneta va por la derecha y Speddy va por la vía rápida. Obviamente así no chocarán. ¿Que puede suceder? ¿Speddy pasará a la camioneta? ¿Cuando? ¿Dónde? ¿Cómo? Pues dependerá de las velocidades de cada uno, de la distancia inicial entre ambos y la desaceleración, pero hay tres cosas diferentes que podrían suceder:
1) Speddy al frenar nunca alcanza a la camioneta.
2) Speddy la alcanza en plena frenada e instantáneamente la camioneta se vuelve a alejar (porque Speddy sigue frenando y la camioneta va a velocidad constante).
3) Speddy alcanza a la camioneta, la supera, pero como sigue frenando, la camioneta lo vuelve a superar, y se aleja mientras speddy termina de detenerse.
Y ahora pensemos. ¿Si van por el mismo carril como indica el enunciado? ¿Que sucedería? Pues respectivamente lo siguiente:
1) No chocarían.
2) Chocarían en un instante intermedio.
3) Matemáticamente las ecuaciones deberían darnos 2 choques: A) Cuando Speedy alcanza a la camioneta, B) Cuando la camioneta vuelve a superar a speddy. Obviamente desde el punto de vista físico sólo ocurre la primera colisión porque allí termina la historia.
Si se plantea el problema como en otra respuesta que vi, no se detectaría ningún choque porque no pueden chocar en el instante final. Esto se debe a que para chocar, la velocidad de speddy debe ser mayor que la de la camioneta, y en el instante final es cuando la velocidad de speddy está llegando a cero, y la camioneta ya está nuevamente alejandose de él. Por ese motivo el planteo debe ser diferente::
Sea:
T=0, momento en que Speddy empieza a frenar.
D=0, lugar donde se encuentra Sppedy cuando empieza la frenada.
T = tiempo transcurrido desde que speddy empieza a frenar.
Ds = Distancia desde D=0, recorrida por Speddy en cada instante T posterior a T=0.
Vs = velocidad de Speddy al pasar por D=0
Dc = Distancia entre D=0 y la camioneta, en cada instante T posterior a T=0
Vc = velocidad constante de la camioneta
Di = Distancia entre D=0 y la camioneta, en el instante T=0
Podemos plantear las siguientes 2 ecuaciones:
Speddy: Ds = Vs*T + (½)*A*(T^2)
Camioneta: Dc = Di + Vc*T
Habrá colisión si, para cualquier instante T, resulta:
Ds = Dc
Por lo tanto igualamos ambas ecuaciones:
Vs*T + (½)*A*(T^2) = Di + Vc*T
Operando:
A/2*(T^2) + (Vs-Vc)*T - Di = 0
Reemplazando valores:
(- 2m/s^2)/2*(T^2) + (30m/s-5m/s)*T – 155m = 0
- 1m/s^2*(T^2) + 25m/s*T – 155m = 0
Debemos resolver esta ecuación cuadrática. Aplicando la fórmula conocida:
T = (- b +- (b^2 – 4ac)^1/2) / 2a
tenemos:
T = (- 25m/s +- ((25m/s)^2 – (4*(-1m/s^2)*(–155m)))^1/2)/ 2*(- 1m/s^2)
T = (- 25m/s +- (625m^2/s^2 – 620m^2/s^2)^1/2)/ - 2m/s^2
T = (- 25m/s +- (5m^2/s^2)^1/2)/ - 2m/s^2
T = (- 25m/s +- 2,236m/s) / -2m/s^2
Obtenemos 2 valores de T:
T1 = 11,382 s
T2 = 13,618 s
Esto nos indica que nos encontramos en el caso 3) indicado mas arriba, y por la explicación dada la colisión se produce a los 11,382 s de haberse iniciado la frenada.
DISTANCIA
Si la solución es correcta, debemos obtener la misma distancia, reemplazando ambos valores (T1 y T2) en las ecuaciones:
Speddy: Ds = Vs*T + (½)*A*(T^2)
Camioneta: Dc = Di + Vc*T
Para T1:
Ds = Vs*T + (½)*A*(T^2) = 30m/s*11,382s + (½)*( - 2m/s^2)*(11,382s)^2 = 211,91m
Dc = Di + Vc*T = 155m + 5m/s*11,382s = 211,91m
Para T2:
Ds = Vs*T + (½)*A*(T^2) = 30m/s*13,618s + (½)*( - 2m/s^2)*( 13,618s)^2 = 223,09m
Dc = Di + Vc*T = 155m + 5m/s*13,618s = 223,09m
Dado que no llegan vivos a T2, la colisión se produce a los 211,91m
Es también muy interesante observar cual sería la representación geométrica de este problema:
La ecuación de Speddy: Ds = Vs*T + (½)*A*(T^2) es una parábola.
La ecuación de la camioneta: Dc = Di + Vc*T es una recta
Si graficáramos D en función de T observaríamos respectivamente para los 3 casos explicados al comienzo:
1) La parábola y la recta no tienen ningún punto en común.
2) La recta es tangente a la parábola en un instante T intermedio.
3) La recta y la parábola se intersectan en 2 puntos. En el primero chocan. El segundo sólo tiene validez matemática.
Si te interesa graficarlo para verlo, puedes hacerlo con excel, o bien entrar a http://fooplot.com/index.php?q0=x%5e3 , donde tienes un graficador de funciones online.
Me llevó bastante tiempo, pero me resultó muy interesante. Ojalá te resulte útil mi explicación.
P.D.: En otra respuesta dada a este mismo problema, consideré por error que había una cuarta posibilidad: el choque en el instante final. Como explico mas arriba, esto no puede ocurrir. Lamentablemente no llegué a corregir mi otra respuesta porque el tiempo había caducado. Si conocés a quien hizo la otra pregunta, por favor, decíle que lea esta respuesta.
De todos modos en ambas respuestas, el desarrollo matemático y los resultados son correctos, pero en la otra respuesta me equivoqué en el comentario.
Bueno mi estimado, veamos que sucede con Speedy Sue y su tremendo vehiculo...
Primero que nada, demos a conocer los valores qeu tenemos
Para Speedy Sue:
Vel inicial = 30m/s
Vel final = 0m/s ..... ya que desacelera y su vehiculo para por completo
Aceleracion = -2m/s^2 .... signo negativo por ser desaceleracion
Para la camioneta:
Vel = 5m/s
Distancia inicial = 155m
Ya conocidos los valores, construyamos entonces la solucion a nuestro problemita.
Primero, veamos en cuanto tiempo Speedy Sue llega a Vf = 0m/s
Vf = Vo + at .... despejando "t" y haciendo Vf = 0 tenemos que
0 = Vo + at => ,,, t = -Vo/a
Sustituyendo los valores de Vo y a tenemos que
t = -(30m/s)/(-2m/s^2) = 15s
Ahora conocemos que en t = 15 segundos, el carro de Speedy Sue llegara a Vf = 0m/s.
Ahora, veamos la distancia total que recorre Speedy Sue hasta que su vehiculo llega a Vf.
Xss = Vot + (1/2)(a)(t^2) .... evaluando en 15s
Xss = (30m/s)(15s)+(1/2)(-2m/s^2)(225s^2)
Xss = 450m - 225m
Xss = 225m
La distancia total que recorrio Speedy Sue es de 225m y ahi su vehiculo se detuvo. Veamos que sucede con la camioneta:
Si los dos chocaron, se supone que el tiempo en que los dos colisionaron deberia de ser el mismo, por lo tanto, veamos donde estaba la camioneta en t = 15s.
Vc = (Xfc - Xic) / t .... despejando Xc (para conocer la distancia)
Xc = (Vc)(t) + Xic = (5m/s)(15s) + 155 = 230m
Por lo que haciendo una diferencia de distancias, se tiene que
Xc - Xss = 5m
Vaya!! Speedy Sue se salvo por tan solo 5 metros!!, que suerte de Speedy de haber frenado con tiempo =].
Espero te haya servido esto =)
@efebe como seria este mismo problema pero si el camion y el automovil vienen en sentidos opuestos?