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Hola

Supongamos un ángulo A en radianes.

Sabemos que el centroide se encuentra sobre el eje de simetría,

es decir, en la bisectriz del sector

Supongamos que el eje "x" se coloca en el eje de simetría,

con lo que queda un ángulo entre +À/2 y -A/2

Entonces

Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r dr da)

Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r dr da)

Area = (R^2/2) ( (A/2) - (-A/2))

Area = (1/2) A R^2

para A = 2 π ---> Area = π R^2 como corresponde

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Ahora, el centro de gravedad

Para un pequeño sector

rc * Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r * r dr da)

rc * Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r^2 dr da)

rc * Area = (R^3/3) ( (A/2) - (-A/2))

rc * Area = (1/3) A R^3

rc = (1/3) A R^3 / (1/2) A R^2

rc = (2/3) R

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Para un sector circular en un ángulo a

xc = (2/3) r cos(a)

yc = (2/3) r sen(a)

La integración resulta

xc * Area = (1/2) R^2 int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2]((2/3) R cos(a) da)

xc * Area = (1/3) R^3 sen(a) [a_de_-A/2_a A/2]

xc * Area = (2/3) R^3 sen(A/2)

xc * (1/2) R^2 A = (2/3) R^3 sen(A/2)

xc = (2/3) R ( sen (A/2) / (A/2) )

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yc * Area = (1/2) R^2 int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2]((2/3) R sen(a) da)

yc * Area = (1/3) R^3 (-cos(a)) [a_de_-A/2_a A/2]

yc * Area = 0

yc = 0 (Esperable por la simetría)

Resumen.

El centroide se encuentra sobre la bisectriz a la distancia del origen

xc = (2/3) R ( sen (A/2) / (A/2) )

Valores particulares

Semicírculo

A = π

xc = (2/3) R ( sen (π/2) / (π/2) ) = (4/3π) R

ubicado sobre la línea de 90°

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Cuadrante

A = π/2

xc = (2/3) R ( sen (π/4) / (π/4) ) = (4/3π) R (1/√2)

ubicado sobre la línea de 45°

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Para A = π/(2^n )

tenemos la fórmula general

sen(π/(2^n )) = √(1- √(1 - √(...).2))/2)

que se puede obtener en forma recursiva de

sen(w/2) = √(1 - cos(w))/2

cos(w/2) = √(1 + cos(w))/2

Saludos

La única manera es haciendo una integral pura y dura en dos dimensiones, aunque en este caso al ser simétrico respecto a un eje se reduce a una integral solo.