¿Como se calcula el área de un elipsoide de semiejes a,b y c?
En todos los textos y manuales aparece el volumen del elipsoide, pero no el área o superficie. Tengo entendido que se deduce de una integral doble que no tiene solución en funciones elementales. ¿ Alguien puede orientar al respecto o proporcionar un link adecuado ?
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Te doy la razon casi siempre mencionan el uso de integrales elipticas para la superficie del elipsoide, en funciones de varias variables, ver en
http://enciclopedia.us.es/index.php/Elipsoide
Sin embargo para el caso de la elipse
b²x²+a²y² = a²b² que gira alrededor del eje X o alrededor del eje Y se puede calcular la superficie generada usando la formula
... x2
2π ∫ y √ [1 + (y')² ] dx ; alrededor del eje X
... x1
... y2
2π ∫ x √ [1 + (x')² ] dy ; alrededor del eje Y
... y1
sea entonces la elipse b²x²+a²y² = a²b² luego
y' = -b²x / a² y
1+(y')² = 1+[-b²x / a² y]² = (a^4y² +b^4x²) / a^4 y²
el area buscada es el doble del area de la superficie que genera un cuadrante de la elipse, por lo que:
........... a
A = 4π ∫ y √ [(a^4 y² +b^4 x²) / a^4 y² ] dx
........... 0
........... a
A = 4π ∫ √ [(a^4 y² +b^4 x²) / a^4 ] dx
........... 0
De a²y² = a²b² -b²x²
........... a
A = 4π ∫ √ [(a²(a²b² -b²x²) +b^4 x²) / a^4 ] dx
........... 0
........... a
A = 4π ∫ √ [(a^4b² - a²b²x² + b^4 x²) / a^4 ] dx
........... 0
........... a
A = 4π ∫ √ [ b² - b² (a² - b²) / a^4 x² ] dx
........... 0
integral que puede transformarse a la forma
∫ √ [ M² - x² ] dx que esta en tablas
En algunos textos he visto la rpta como
A= 2π [ b²+(ab/e) arcsen (e) ]
donde: e= c/a = (1/a) √(a²+b²)
hay una demostracion en este link
http://books.google.com.pe/books?id=0kLDrfUVXbgC&p...
cap 12.3.2 aplicaciones en la pag 263
espero te sirva la informacion
me parece que es pi*a*b
si a y b fueran iguales seria pi*a^2, lo cual es conocido