Voy a tratar de ayudarte, aunque sin poder dibujar es algo menos fácil de explicar.
La respuesta inmediata a tu pregunta es que si conoces la apotema de un polígono puedes saber todo lo demás, es que si se puede.
Vamos por partes ....
La apotema es la distancia que existe entre el centro del polígono y el punto medio de cualquier lado del polígono (supongo un polígono regular), la cual además es igual a la altura de cualquier triángulo formado for el centro del polígono y los dos puntos extremos de cualquier lado del polígono mismo.
Resulta entonces que en cualquier polígono regular de N lados tienes N triángulos centrales, todos y cada uno son isosceles, formado por el centro y los dos puntos extremos de cada lado; la altura de cada uno de estos triángulos es la apotema.
Además cada uno de estos triángulos tiene por un ángulo central de 360º/N.
Entonces si conoces la apotema puede saber el radio r, es decir, la distancia entre el centro y cada uno de los vértices del polígono, y el lado L del polígono, los cuales se pueden obtener usando un poco de trigonometría, hazlo y te divertirás:
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Se le puede llamar altura a radio + apotema.
Luego te doy las relaciones entre lado, apotema y radio.
El ángulo opuesto a un lado de un polígono regular de n lados, determinado por dos radios y ese lado es:
α=2π/n
esos dos radios y un lado determinan,a su vez, un triángulo isósceles con el ángulo α y dos ángulos idénticos β
y α+2β=π ⇒
β=(π-α)/2=π(n-2)/2n
La apotema a, está determinada por
❶ a=rSen(β) donde r es el radio
y el lado L es
L=2rCos(β)
en un polígono regular de número impar de lados, podemos llamarle altura h, a la suma del radio mas apotema.
h=r+a
donde en virtud de ❶
h=r+rSen(β)=r(1+Sen(β))
de donde resulta que
r=h/(1+Sen(β))
L=2hCos(β)/(1+Sen(β))
a=hSen(β)/(1+Sen(β))
luego cualquier fórmula que involucre lado radio o apotema, se puede expresar en función de la altura h, así definida .
Voy a tratar de ayudarte, aunque sin poder dibujar es algo menos fácil de explicar.
La respuesta inmediata a tu pregunta es que si conoces la apotema de un polígono puedes saber todo lo demás, es que si se puede.
Vamos por partes ....
La apotema es la distancia que existe entre el centro del polígono y el punto medio de cualquier lado del polígono (supongo un polígono regular), la cual además es igual a la altura de cualquier triángulo formado for el centro del polígono y los dos puntos extremos de cualquier lado del polígono mismo.
Resulta entonces que en cualquier polígono regular de N lados tienes N triángulos centrales, todos y cada uno son isosceles, formado por el centro y los dos puntos extremos de cada lado; la altura de cada uno de estos triángulos es la apotema.
Además cada uno de estos triángulos tiene por un ángulo central de 360º/N.
Entonces si conoces la apotema puede saber el radio r, es decir, la distancia entre el centro y cada uno de los vértices del polígono, y el lado L del polígono, los cuales se pueden obtener usando un poco de trigonometría, hazlo y te divertirás:
r = a/cos(360º/(2N))
L = 2 a tan(360º/(2N))
El pentágono NO TIENE ALTURA. Sus elementos son lados, vértices, ángulos exteriores, ángulos interiores, radio y apotema. Es TODO.
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