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Supongo que cuando dices una esfera inscrita en un cono te estás refiriendo a que la esfera está perfectamente inscrita y en ese caso el cono debe ser equilátero. El volumen del cono es:

Vc = 1/3 π Rc² h

Y el volumen de la esfera:

Ve = 4/3 π Re³

Pero en un cono equilátero, el centro de la esfera inscrita es el baricentro del triángulo equilátero sección. Y el baricentro del triángulo equilátero divide a la altura h en dos segmentos de 2/3 y 1/3. Justamente el segmento de 1/3 que es el que va desde el baricentro hasta la base del triángulo es el que se corresponde con el radio de la esfera. Por tanto:

Re = 1/3 h

Por otra parte, el radio de la base del cono es la mitad del lado del triángulo equilátero que se obtiene de la sección vertical del cono. Y como los lados de un triángulo equilátero son:

L = 2/√3 h

Rc = L/2 = h/√3

La relación entre el volumen del cono y de la esfera inscrita será:

Vc/Ve = (1/3 π Rc² h) / (4/3 π Re³) = ¼ Rc² h/Re³

Y sustituyendo los valores de los radios:

► Vc/Ve = ¼ (h/√3)² h/(1/3 h)³ = 9/4

Un saludo.