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Hipócrates de Quios (siglo V a. C.)

La tendencia de abstracción y sistematización de la Geometría encontró un fuerte impulso en la obra de Hipócrates de Quios, el geómetra más importante del siglo V a. C.. Escribió una obra de carácter enciclopédico titulada "Elementos" para aglutinar todo el saber matemático de su época. Más tarde incluida en los libros 1º y 2º de la colección que Euclides tituló con igual nombre.

Partiendo de un sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo utilizó por primera vez el conocido esquema Premisa-Teorema-Demostración. Introdujo la designación de figuras geométricas por letras, el método de demostración por el absurdo.

Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo. Para ello se valió del teorema que afirma “la razón entre el área de dos círculos es la misma que la razón entre el cuadrado de sus radios”. En relación con la duplicación del cubo probó que esta era posible siempre que pudieran encontrarse medias proporcionales entre un número y su duplo.

Nació en la isla de Quios, en la segunda mitad del siglo V a.C. Según Aristóteles, aunque destacado como geómetra, era estúpido y falto de sentido común en otros aspectos. Fue estafado por los piratas y para recuperar su fortuna se trasladó a Atenas donde debió dedicarse a la enseñanza para sobrevivir.

A Hipócrates debemos un primer tratado sobre geometría en el que se exponen teoremas a partir de unos axiomas y postulados. Aunque no nos ha llegado su obra directamente, sabemos de ella a través de los relatos de Eudemo, 335 a.C., resumidos por Simplicio en el 530 d.C. También podemos encontrar parte del trabajo de Hipócrates entre los teoremas que aparecen en los "Elementos" de Euclides.

Entre los mayores logros de Hipócrates está el haber demostrado que las áreas de dos círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto es equivalente a haber descubierto que el área de un círculo es , sin determinar el valor de . Es posible que llegara a esta conclusión considerando el círculo como el límite de un polígono regular. Presentándose aquí un primer ejemplo de lo que más tarde sería el método exhaustivo.

Uno de los problemas más importantes para los matemáticos griegos, como ya se ha señalado era el de la cuadratura del círculo o de cualquier superficie en general. Debemos partir de la base de que para estos matemáticos cualquier demostración o construcción geométrica debería realizarse sólo con regla o compás. De hecho la cuadratura se define así:

La cuadratura de una figura plana es la construcción con regla y compás de un cuadrado con la misma superficie de la figura plana original.

En la época de Hipócrates se habían conseguido cuadrar los polígonos más irregulares, pero siempre construidos a base de líneas rectas. Nadie había conseguido la cuadratura de una figura con líneas curva y empezaba a intuirse que resultaría imposible. Sin embargo, Hipócrates fue el primero en cuadrar una figura con lados curvados, conocida como lúnula. Pero la lúnula cuadrada por Hipócrates fue una especialmente construida por el

Más tarde Hipócrates consiguió cuadrar otros dos casos particulares de lúnula. En 1711, Euler encontró otros dos casos de lúnulas cuadrables . Ya en el siglo XX N.G. Tschebatorew y A.W. Dorodnow demostraron que estas cinco lúnulas eran las únicas que se podían cuadrar con regla y compás. Si a estos unimos la demostración realizada por Lindemann en 1882, de la imposibilidad de cuadrar el círculo, podemos concluir que la primera intuición de los matemáticos griegos era cierta, y que la cuadratura de figuras curvilíneas con regla y compás era imposible salvo algunas excepciones.