Así pues A es una solución de la ecuación de coeficientes enteros
x^4 - 10x + 1=0
Ahora bien, las únicas soluciones racionales que podría tener esa ecuación son 1 o -1 [ +- término independiente/término lider] y no son raíces pues no cumplen la ecuación.
==> Las soluciones son irracionales.
Como A es solución --> A es irracional.
--------------------
Otra forma si A racional --> A² racional --> √6= (A²-5)/2 sería racional --> √6=a/b con a, b naturales irreducibles
--> 6=a²/b² --> a²=6·b² --> a² es múltiplo de 2 , y de 3, de 6...)
--> a² es múltiplo de 6 --> a² es múltiplo de 6² (y a es múltiplo de 6) --> a²=6²·k -->
36·k²= 6b² --> b²=6·k² --> b² es múltiplo de 6 --> b es múltiplo de 6 --> a/b es reducible ¡Absurdo!
¿De donde surge el absurdo? ¡De suponer que √6 es racional! ==> √6 es irracional ==> √2+√3 es irracional
Supongamos que raiz(2) + raiz(3) es racional luego :
raiz(2) + raiz(3) = p/q donde p y q son enteros, q no -nulo y podemos suponer que son primos relativos, es decir (p,q) = 1.
Luego elevando al cuadrado ambos lados:
2 + 3 + 2*raiz(2)raiz(3) = p^2/q^2
5 + 2*raiz(2)raiz(3) = p^2/q^2
5 + 2* raiz(6) = p^2/q^2
2raiz(6) = p^2/q^2 - 5 = (p^2 - 5q^2)/q^2
Despejando raiz(6):
raiz(6) = (p^2 - 5q^2)/(2q^2)
Por lo tanto si raiz(2) + raiz(3) es racional se sigue que raiz(6) es racional pues raiz(6) = (p^2-5q^2)/(2q^2) y claramente (p^2-5q^2)/(2q^2) es racional.
Pero es fácil probar que raÃz(6) es irracional. Suponagmos que raiz(6) fuera racional luego raiz(6) = a/b con (a,b) = 1.
Elevando al cuadrado:
6 = a^2/b^2 de donde a^2 = 6b^2 = 2(2b^2) luego a^2 es par y por lo tanto a es par, asi a = 2k para algun entero k.
(2k)^2 = 6b^2 luego 4k^2 = 6b^2 y por lo tanto 2k^2 = 3b^2.
Claramente 2k^2 es divisible por 2 y dado que 2k^2 = 3b^2 entonces 3b^2 es divisible por 2. Esto es una contradicción pues supusimos que a y b no tenÃan factores en común es decir (a,b) = 1.
Luego raiz(6) es irracional y por lo tanto raiz(2) + raiz(3) es irracional.
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Si A= √2+ √3 --> A²=5+ 2·√6 --> A²-5 = 2·√6 -->
(A²-5)² = (2·√6)² --> A^4 - 10A+25=24 --> A^4 - 10A + 1=0
Así pues A es una solución de la ecuación de coeficientes enteros
x^4 - 10x + 1=0
Ahora bien, las únicas soluciones racionales que podría tener esa ecuación son 1 o -1 [ +- término independiente/término lider] y no son raíces pues no cumplen la ecuación.
==> Las soluciones son irracionales.
Como A es solución --> A es irracional.
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Otra forma si A racional --> A² racional --> √6= (A²-5)/2 sería racional --> √6=a/b con a, b naturales irreducibles
--> 6=a²/b² --> a²=6·b² --> a² es múltiplo de 2 , y de 3, de 6...)
--> a² es múltiplo de 6 --> a² es múltiplo de 6² (y a es múltiplo de 6) --> a²=6²·k -->
36·k²= 6b² --> b²=6·k² --> b² es múltiplo de 6 --> b es múltiplo de 6 --> a/b es reducible ¡Absurdo!
¿De donde surge el absurdo? ¡De suponer que √6 es racional! ==> √6 es irracional ==> √2+√3 es irracional
Saludos
Supongamos que raiz(2) + raiz(3) es racional luego :
raiz(2) + raiz(3) = p/q donde p y q son enteros, q no -nulo y podemos suponer que son primos relativos, es decir (p,q) = 1.
Luego elevando al cuadrado ambos lados:
2 + 3 + 2*raiz(2)raiz(3) = p^2/q^2
5 + 2*raiz(2)raiz(3) = p^2/q^2
5 + 2* raiz(6) = p^2/q^2
2raiz(6) = p^2/q^2 - 5 = (p^2 - 5q^2)/q^2
Despejando raiz(6):
raiz(6) = (p^2 - 5q^2)/(2q^2)
Por lo tanto si raiz(2) + raiz(3) es racional se sigue que raiz(6) es racional pues raiz(6) = (p^2-5q^2)/(2q^2) y claramente (p^2-5q^2)/(2q^2) es racional.
Pero es fácil probar que raÃz(6) es irracional. Suponagmos que raiz(6) fuera racional luego raiz(6) = a/b con (a,b) = 1.
Elevando al cuadrado:
6 = a^2/b^2 de donde a^2 = 6b^2 = 2(2b^2) luego a^2 es par y por lo tanto a es par, asi a = 2k para algun entero k.
(2k)^2 = 6b^2 luego 4k^2 = 6b^2 y por lo tanto 2k^2 = 3b^2.
Claramente 2k^2 es divisible por 2 y dado que 2k^2 = 3b^2 entonces 3b^2 es divisible por 2. Esto es una contradicción pues supusimos que a y b no tenÃan factores en común es decir (a,b) = 1.
Luego raiz(6) es irracional y por lo tanto raiz(2) + raiz(3) es irracional.