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bueno hace tiempo q vi derivadas en mi carrera pero ahi vamos:

de la forma u' /1+u^2 la u es el argumento, el argumento de la tangente son el "y/x"

con respecto a x seria asi:

arctan (y/x)' = (-y/x^2)/(1+(y/x)^2)

acomodando un poco (haciendo metodo de doble c)

(-y/(x^2)*((1+(y/x)^2)))= (-y/(x^2+y^2)) quedando asi.

Con respecto a y:

arctan (y/x)'= (1/x)/(1+(y/x)^2)

volviendo con doble c

(1/((x)*(1+(y/x)^2))

(1/(x+y^2/x)

espero hayas podido entender bn, ahi te dejo una pagina con unos ejercicios resueltos

Derivada De Arctan X