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La función W de Lambert también llamada función omega o logaritmo producto, no es sino la función inversa de

f(z) = ze^z

Donde z es cualquier número complejo. La función inversa de dicha función es la función W de Lambert es decir

z = W(z) e ^ W(z)

Simplemente es la función inversa a f(z) = ze^z, por lo tanto

z = W(z) e ^ W(z) = W(f(z)) = W(ze ^z)

Esta definición implícita de la función W puede parecer muy rara, pero hay que notar que W es una función que no puede escribirse en términos de las funciónes elementales (como cos(x), ln(x), etc.). A partir de esta definición, sin embargo, uno puede descubrir muchas cosas útiles sobre esta función, como por ejemplo su derivada, su integral, y cómo calcular W(x). Además uno puede probar algunas propiedades útiles sobre esta función:

W(-ln(a)/a) = -ln(a), si 1/e ≤ a ≤ e

W(-1/e) = -1

W(0) = 0

W(e) = 1

Para calcular el valor de la función en un punto se usa la expansión en series de la misma, la cual es:

............∞ ...... ...[(-1)^(n-1)] n^(n-2)

W(x) = .Σ .......----------------------------- x^(n)

...........n = 1... ..........(n - 1)!

Como tu ya sabes, esta función sirve para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales como las que tu planteas, también nos da la solución para conocer la corriente en un circuito serie conformado por un diodo y una resistencia, comportamientos de fluidos viscosos, resolución de varias ecuaciones de físico-química, etc...

Espero te sea de ayuda. Salu2.