Verified answer

Hola, Mss.

EXTREMOS ABSOLUTOS (máximo y mínimo absolutos)

►El máximo absoluto es el mayor valor que alcanza la función en todo su dominio. Si existe, es único.

►El mínimo absoluto es el menor valor que alcanza la función en todo su dominio. Si existe, es único.

Los extremos absolutos pueden estar:

1º) En los extremos del dominio, si éste se definió como un intervalo cerrado.

2º) En los puntos del dominio donde la derivada primera vale cero.

3º) En los puntos del dominio donde la derivada primera no existe.

EJEMPLO. Hallar, si existen, los extremos absolutos de la función f(x) = x² + 3x en el intervalo [-2, 1]

SOLUCIÓN. La función tiene extremos absolutos si en el dominio que se definió es continua. Por ser una función polinómica, es continua en todo su dominio, en este caso, en [-2, 1].

Para hallar los extremos, evaluamos la función en los puntos antes mencionados.

1º) Extremos del dominio.

f(-2) = (-2)² + 3·(-2) = -2 ............................. ❶

f(1) = 1² + 3·1 = 4 ..................................... ❷

2º) Puntos donde f ' (x) = 0

f ' (x) = 2x + 3 = 0 ⇒ x = -3/2

Evaluamos la función en este punto:

f(-3/2) = (-3/2)² + 3·(-3/2) = -9/4 = -2,25.............................❸

3º) Puntos donde no existe f ' (x). Como f ' (x) es una función lineal, existe para cualquier valor de x. Entonces, en este caso no hay ningún punto.

Para determinar cuál es el máximo absoluto y el mínimo absoluto buscamos el valor mayor y el menor que toma la función en ❶ , ❷ y ❸.

RESPUESTA.

MÁXIMO ABSOLUTO = f(1) = 4

MÍNIMO ABSOLUTO = f(-3/2) = -9/4 = -2,25

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES (máximo relativo o local - mínimo relativo o local)

►Una función tiene un máximo relativo o local en un punto x₀ de su dominio si el valor de la función en ese punto es mayor a todos los que toma en un pequeño intervalo que contiene a x₀. Una función puede tener más de un máximo relativo, y corresponde a los "picos" que alcanza, que pueden tener distinta "altura".

►Una función tiene un mínimo relativo o local en un punto x₀ de su dominio si el valor de la función en ese punto es menor a todos los que toma en un pequeño intervalo que contiene a x₀. Una función puede tener más de un mínimo relativo, y corresponde a los "valles" que alcanza, que pueden tener distinta "profundidad".

Para encontrar los extremos relativos, se siguen estos pasos:

1º) Se buscan los puntos donde la derivada primera vale cero o no existe (puntos críticos)

2º)

■ Para puntos donde la derivada primera vale cero, se calcula la derivada segunda. Si:

f " (x₀) > 0 ⇒ en x₀ hay un mínimo relativo = f(x₀)

f " (x₀) < 0 ⇒ en x₀ hay un máximo relativo = f(x₀)

■ Para puntos donde no existe la derivada primera, se analiza el signo de esta derivada antes y después del punto. Si los signos son distintos, entonces, hay extremo relativo (criterio de la derivada primera)

Si pasa de positiva a negativa ⇒ hay máximo relativo.

Si pasa de negativa a positiva ⇒ hay mínimo relativo.

EJEMPLO. Hallar, si existen, los extremos relativos de la función f(x) = 2x³ + 3x²

SOLUCIÓN. Calculamos la derivada primera, y la igualamos a cero para encontrar los puntos críticos.

f ' (x) = 6x² + 6x = 0

6x·(x + 1) = 0

x = 0,...... x = -1 .......(puntos críticos)

Ahora, calculamos la derivada segunda y la evaluamos en los puntos críticos.

f " (x) = 12x + 6

f " (0) = 12·0 + 6 = 6 ⇒ en x = 0 hay un mínimo relativo = f(0) = 2·0³ + 3·0² = 0

f " (-1) = 12·(-1) + 6 = -6 ⇒ en x = -1 hay un máximo relativo = f(-1) = 2·(-1)³ + 3·(-1)² = 1

Observación. Como la derivada primera es una función cuadrática, existe para todo valor de x. Por esa razón, no hay puntos donde no existe f ' (x) y solamente se buscaron puntos críticos donde la derivada primera es cero.

Un saludo!!!

La diferencia entre máximo absoluto y mínimo absoluto, es la capacidad para insultar vilmente, sabiendo que a la persona que se insulta no se puede defender. Francamente, es de una cobardía absoluta y de una inteligencia relativa.

No hay de qué.