Porque un número negativo elevado al cuadrado se convierte en positivo.
Las raíces de 4 son 2 y –2 porque ambos, elevados al cuadrado, dan 4.
Amigo Andrés:
Acabo de leer la respuesta de Julio R que está un poco más abajo. Creo que responde a tu pregunta desde perspectivas distintas.
Si la raíz de un número es aquél otro que elevado al índice de la raíz nos da la cantidad subradical, entonces –2 es también raíz de 4, pues elevado al cuadrado nos da precisamente 4. Y –2 es un número real tan válido como el positivo 2.
Todo número tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas y, en general, n raíces n-simas. Si el índice es par, siempre tiene dos raíces reales y las demás que no lo son. Si el índice es impar, siempre tiene una raíz real y las demás que no lo son.
Por ejemplo,
las raíces cuadradas de 1 son 1 y –1 (ambas reales)
las raíces cúbicas de 1 son 1; –1/2 ± √3/2 i (estas dos últimas complejas)
las raíces cuartas de 1 son ±1; ±i
las raíces sextas de 1 son ±1; ±(1/2 ± √3/2 i)
las raíces cúbicas de 27 (para no usar siempre el 1) son: 3; –3/2 ± 3√3/2 i
etc.
En general, a los estudiantes que ven por primera vez el tema de radicación se les dice que los números negativos no tienen raíz de indice par. En realidad habría que decir que no tienen raíces reales, porque sí tienen raíces: sólo que éstas son complejas.
Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas de –16 son todas complejas: ±(√2 ± √2 i)
Si el índice es impar, el número negativo tiene una raíz real.
Por ejemplo, la raíz cúbica de – 27 es –3, porque –3 elevado al cubo da –27.
Es todo.
_________________________
Respuesta a la contrarespuesta de Julio.
Amigo Julio:
Nuestras diferencias con respecto al tema se originan en la definición que cada uno de nosotros acepta como raíz de un número.
Tú te inclinas por aceptar la definición de raíz que aparece en Wikipedia: "En matemática, se llama raíz cuadrada (√) de un número a aquel otro que SIENDO MAYOR O IGUAL QUE CERO, elevado al cuadrado, es igual al primero"
De acuerdo con esta definición, todo lo que tú argumentas es cierto.
Yo prefiero otra definición: "raíz n-sima de un número es aquél que, elevado al exponente n, nos da el número".
La definición de wikipedia excluye la posibilidad de que la raíz cuadrada sea negativa. La definición que yo prefiero seguir no excluye tal posibilidad.
He leído en wikipedia el capítulo referido a raíz de un número y no encontré en ninguna parte la justificación para excluir los números negativos como raíz cuadrada de otro.
Me hago varias preguntas: ¿Por qué –2 no es raíz cuadrada de 4 como sí lo es el 2, si ambos elevados al cuadrado dan 4? ¿Es que los números negativos son de una categoría distinta? ¿No son números reales también?
¿Cuál es la justificación para excluir los números negativos? ¿Si una raíz sexta tiene dos raíces reales y cuatro complejas, por qué debo tomar sólo la positiva de las reales?
Por ahora me parece que wikipedia hace una exclusión totalmente arbitraria.
Si tú conoces por otras lecturas la justificación de tal exclusión sería bueno que nos ilustraras al respecto.
PD.: Amigo Andrés: como que has alborotado un avispero...
Hola. Leyendo las respuestas de jorgegid, franco, ARBEYRAP, dieggius, y Diego, y me temo que estas respuestas te van a dejar una confusión impresionante y hay un enorme riesgo de que te quedes con la respuesta equivocada. Así que quisiera tratar de resolver este problema de una buena vez.
El resultado de la raíz cuadrada de un número real positivo no puede ser negativa; aquél que te dijo eso ha cometido un error típico. Lo justifico a continuación
Hay una muy buena enciclopedia en internet, que se llama wikipedia. Nunca se equivoca, o yo nunca he encontrado un lugar donde se equivoque. Busqué en ella la definición de "Raíz Cuadrada", y aquí en esta respuesta te añadí el link, es una de mis fuentes. Ahora bien; voy a citar la primera frase de este artículo
"En matemática, se llama raíz cuadrada (√) de un número a aquel otro que SIENDO MAYOR O IGUAL QUE CERO, elevado al cuadrado, es igual al primero"
Así es, mayor o igual que cero. La gente es muy reacia a aceptarlo, muchos creen lo que dice jorgegid y dieggus, y aunque un profesor de matemáticas les diga que no, ellos no se resignan a aceptarlo.
Yo lo que digo es lo siguiente: En el artículo de wikipedia, ni por un sólo instante, apareció algo del tipo
√4 = -2, o √36 = -6.
¿Porqué? Pues porque sería un problema decir, por ejemplo: 2 = √4 = -2. Si la raíz cuadrada puede ser negativa, entonces ¿qué pasa con esa igualdad que acabo de hacer? ¿2 = -2? Claro, algunos me dirán "miente, en la parte de los números complejos sí lo dice" Pero si se dan cuenta, justamente en la parte de los números complejos hacen referencia al problema que acabo de mencionar.
En el artículo también aparecen varias referencias bibliográficas, que añado también:
* Stewart, James (2006). Cálculo: Conceptos y contextos. México D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 e ISBN 978-970-686-543-4.
* Joseph, George Gheverghese (2000). The crest of the peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del pavo real: Raíces no europeas de la matemática). Londres. ISBN 0-691-00659-8 e ISBN 978-0-691-00659-8.
* Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Historia de la matemática, vol 2, asuntos especiales de la matemática elemental). Boston. ISBN 0-486-20430-8 e ISBN 978-0-486-20430-7.
* Anglin, W.S. (Diciembre de 1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemática: Una historia y una filosofía concisas). New York. ISBN 0-387-94280-7 e ISBN 978-0-387-94280-3.
El libro de Stewart es famoso, pero de hecho, en ninguno de estos libros, ni en nigún libro de matemáticas publicado y a la venta o en el catálogo de una biblioteca va a aparecer nunca, jamás, que √4 = -2, o √36 = -6, o nada así. Lo que sí va a aparecer es:
<< √ (X²) = | X | >>.
(| X | valor absoluto de X)
Y si todos los libros de matemática lo dicen, entonces creo que es prudente que tanto tú, andres, y jorgegid, y dieggius, sigan el siguiente consejo:
Si quieren perder exámenes de matemáticas (que no sea de números complejos, eso es otro idioma), digan que la raíz cuadrada de algo es negativa, o digan que puede ser "mas o menos algo"
Si lo que quieren es pasar, entonces guárdense en el disco duro y en la board de su cabeza la fórmula de arriba: √ (X²) = | X |. Valgan las respuestas de ARBEYRAP y Diego, háganles caso. Saludos.
P. D. Si ya saben graficar funciones, observen cómo la gráfica de y = x² es una parábola, mientras que la de y = √ x es... ¡¡¡sólo media parábola!!! (la mitad de arriba, claro). Si eso aún no los convence, pues ni modo...
----------
CONTRARESPUESTA: Las múltiples raíces que dices tu en tu respuesta editada, son raíces en los números complejos. En el cuerpo de los números complejos no existe un orden, así que no hay positivos ni negativos, y AHÍ SI se puede decir que -2 es un número COMPLEJO tan válido como 2; pero si dijeron en el enunciado las palabras "positivo" y "negativo", se sobreentiende que estamos hablando de números reales. Y ahí, sólo los no negativos tienen raíz cuadrada, y es no negativa, así que en los reales -2 sí es muy distinto de 2. De entre ellos dos, sólo 2 puede ser radicando y resultado en la raíz cuadrada (en los complejos, ambos pueden ser radicando y resultado).
La raíz cuadrada de un número positivo, da como resultado dos números, uno positivo y otro negativo porque al elevar estos números al cuadrado, obtenemos el número que esta dentro de la raíz.
Recordemos que la raíz cuadrada se define como:
√a = b si y sólo si b² = a
La raíz cuadrada de "a" es todo número "b" que elevado al cuadrado nos da como resultado el número "a".
hombre pues el resultado si puede dar negativo pero la raiz de por ejemplo -5 da error, que he leido por ahi algunas cosas que madre mia. no se me parece super interesante tu pregunta. espero que encuentres la respuesta. yo preguntare. suerte
El resultado de una raiz cuadrada siempre sera positivo, nun sera negativo
mira por ejemplo
√9 = 3
osea 3^2 = 9
Se le podria sacar raiz cuadrada a un numero negativo, pero el resultado de esto es un numero imaginario ( esto ya es un poco avanzado) asi q con eso no nos metamos, solo coloca la restrisccion de q no se puede sacara raiz cuadrada a un numero negativo.
Vamos a ver, hombre, no conozco ninguna raíz cuadrada, ni cúbica, cuyo resultado sea negativo. Mas que nada por que la raíz cuadrada es una operación, matemática, que solo utiliza números racionales (es decir positivos) y reales...los número negativos son irracionales e imaginarios.
Por lo tanto, si una raíz cuadrada te da negativo...¡¡¡macho, mira bien lo que hiciste!!!.
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Porque un número negativo elevado al cuadrado se convierte en positivo.
Las raíces de 4 son 2 y –2 porque ambos, elevados al cuadrado, dan 4.
Amigo Andrés:
Acabo de leer la respuesta de Julio R que está un poco más abajo. Creo que responde a tu pregunta desde perspectivas distintas.
Si la raíz de un número es aquél otro que elevado al índice de la raíz nos da la cantidad subradical, entonces –2 es también raíz de 4, pues elevado al cuadrado nos da precisamente 4. Y –2 es un número real tan válido como el positivo 2.
Todo número tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas y, en general, n raíces n-simas. Si el índice es par, siempre tiene dos raíces reales y las demás que no lo son. Si el índice es impar, siempre tiene una raíz real y las demás que no lo son.
Por ejemplo,
las raíces cuadradas de 1 son 1 y –1 (ambas reales)
las raíces cúbicas de 1 son 1; –1/2 ± √3/2 i (estas dos últimas complejas)
las raíces cuartas de 1 son ±1; ±i
las raíces sextas de 1 son ±1; ±(1/2 ± √3/2 i)
las raíces cúbicas de 27 (para no usar siempre el 1) son: 3; –3/2 ± 3√3/2 i
etc.
En general, a los estudiantes que ven por primera vez el tema de radicación se les dice que los números negativos no tienen raíz de indice par. En realidad habría que decir que no tienen raíces reales, porque sí tienen raíces: sólo que éstas son complejas.
Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas de –16 son todas complejas: ±(√2 ± √2 i)
Si el índice es impar, el número negativo tiene una raíz real.
Por ejemplo, la raíz cúbica de – 27 es –3, porque –3 elevado al cubo da –27.
Es todo.
_________________________
Respuesta a la contrarespuesta de Julio.
Amigo Julio:
Nuestras diferencias con respecto al tema se originan en la definición que cada uno de nosotros acepta como raíz de un número.
Tú te inclinas por aceptar la definición de raíz que aparece en Wikipedia: "En matemática, se llama raíz cuadrada (√) de un número a aquel otro que SIENDO MAYOR O IGUAL QUE CERO, elevado al cuadrado, es igual al primero"
De acuerdo con esta definición, todo lo que tú argumentas es cierto.
Yo prefiero otra definición: "raíz n-sima de un número es aquél que, elevado al exponente n, nos da el número".
La definición de wikipedia excluye la posibilidad de que la raíz cuadrada sea negativa. La definición que yo prefiero seguir no excluye tal posibilidad.
He leído en wikipedia el capítulo referido a raíz de un número y no encontré en ninguna parte la justificación para excluir los números negativos como raíz cuadrada de otro.
Me hago varias preguntas: ¿Por qué –2 no es raíz cuadrada de 4 como sí lo es el 2, si ambos elevados al cuadrado dan 4? ¿Es que los números negativos son de una categoría distinta? ¿No son números reales también?
¿Cuál es la justificación para excluir los números negativos? ¿Si una raíz sexta tiene dos raíces reales y cuatro complejas, por qué debo tomar sólo la positiva de las reales?
Por ahora me parece que wikipedia hace una exclusión totalmente arbitraria.
Si tú conoces por otras lecturas la justificación de tal exclusión sería bueno que nos ilustraras al respecto.
PD.: Amigo Andrés: como que has alborotado un avispero...
En los numeros reales nunca será negativa
(ATENCIÓN: Contrarespuesta a jorgegid, abajo)
Hola. Leyendo las respuestas de jorgegid, franco, ARBEYRAP, dieggius, y Diego, y me temo que estas respuestas te van a dejar una confusión impresionante y hay un enorme riesgo de que te quedes con la respuesta equivocada. Así que quisiera tratar de resolver este problema de una buena vez.
El resultado de la raíz cuadrada de un número real positivo no puede ser negativa; aquél que te dijo eso ha cometido un error típico. Lo justifico a continuación
Hay una muy buena enciclopedia en internet, que se llama wikipedia. Nunca se equivoca, o yo nunca he encontrado un lugar donde se equivoque. Busqué en ella la definición de "Raíz Cuadrada", y aquí en esta respuesta te añadí el link, es una de mis fuentes. Ahora bien; voy a citar la primera frase de este artículo
"En matemática, se llama raíz cuadrada (√) de un número a aquel otro que SIENDO MAYOR O IGUAL QUE CERO, elevado al cuadrado, es igual al primero"
Así es, mayor o igual que cero. La gente es muy reacia a aceptarlo, muchos creen lo que dice jorgegid y dieggus, y aunque un profesor de matemáticas les diga que no, ellos no se resignan a aceptarlo.
Yo lo que digo es lo siguiente: En el artículo de wikipedia, ni por un sólo instante, apareció algo del tipo
√4 = -2, o √36 = -6.
¿Porqué? Pues porque sería un problema decir, por ejemplo: 2 = √4 = -2. Si la raíz cuadrada puede ser negativa, entonces ¿qué pasa con esa igualdad que acabo de hacer? ¿2 = -2? Claro, algunos me dirán "miente, en la parte de los números complejos sí lo dice" Pero si se dan cuenta, justamente en la parte de los números complejos hacen referencia al problema que acabo de mencionar.
En el artículo también aparecen varias referencias bibliográficas, que añado también:
* Stewart, James (2006). Cálculo: Conceptos y contextos. México D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 e ISBN 978-970-686-543-4.
* Joseph, George Gheverghese (2000). The crest of the peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del pavo real: Raíces no europeas de la matemática). Londres. ISBN 0-691-00659-8 e ISBN 978-0-691-00659-8.
* Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Historia de la matemática, vol 2, asuntos especiales de la matemática elemental). Boston. ISBN 0-486-20430-8 e ISBN 978-0-486-20430-7.
* Anglin, W.S. (Diciembre de 1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemática: Una historia y una filosofía concisas). New York. ISBN 0-387-94280-7 e ISBN 978-0-387-94280-3.
El libro de Stewart es famoso, pero de hecho, en ninguno de estos libros, ni en nigún libro de matemáticas publicado y a la venta o en el catálogo de una biblioteca va a aparecer nunca, jamás, que √4 = -2, o √36 = -6, o nada así. Lo que sí va a aparecer es:
<< √ (X²) = | X | >>.
(| X | valor absoluto de X)
Y si todos los libros de matemática lo dicen, entonces creo que es prudente que tanto tú, andres, y jorgegid, y dieggius, sigan el siguiente consejo:
Si quieren perder exámenes de matemáticas (que no sea de números complejos, eso es otro idioma), digan que la raíz cuadrada de algo es negativa, o digan que puede ser "mas o menos algo"
Si lo que quieren es pasar, entonces guárdense en el disco duro y en la board de su cabeza la fórmula de arriba: √ (X²) = | X |. Valgan las respuestas de ARBEYRAP y Diego, háganles caso. Saludos.
P. D. Si ya saben graficar funciones, observen cómo la gráfica de y = x² es una parábola, mientras que la de y = √ x es... ¡¡¡sólo media parábola!!! (la mitad de arriba, claro). Si eso aún no los convence, pues ni modo...
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CONTRARESPUESTA: Las múltiples raíces que dices tu en tu respuesta editada, son raíces en los números complejos. En el cuerpo de los números complejos no existe un orden, así que no hay positivos ni negativos, y AHÍ SI se puede decir que -2 es un número COMPLEJO tan válido como 2; pero si dijeron en el enunciado las palabras "positivo" y "negativo", se sobreentiende que estamos hablando de números reales. Y ahí, sólo los no negativos tienen raíz cuadrada, y es no negativa, así que en los reales -2 sí es muy distinto de 2. De entre ellos dos, sólo 2 puede ser radicando y resultado en la raíz cuadrada (en los complejos, ambos pueden ser radicando y resultado).
Hola !! Veamos por qué con ejemplos.
√25 = 5 porque 5² = 25
√25 = -5 porque (-5)² = 25
La raíz cuadrada de un número positivo, da como resultado dos números, uno positivo y otro negativo porque al elevar estos números al cuadrado, obtenemos el número que esta dentro de la raíz.
Recordemos que la raíz cuadrada se define como:
√a = b si y sólo si b² = a
La raíz cuadrada de "a" es todo número "b" que elevado al cuadrado nos da como resultado el número "a".
Un saludo!!
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porq : ej -27 la raiz seria - 3
porq -3x-3= +9 porque - x - = + y +9 x -3 =-27 porq+ x - = -
ej si fuera +27 la raiz seria solo 3
+3x+3x+3=+27
+ x += +
espero que hayas entendido algo ;)
Definición de raíz cuadrada de un número a: es un número b de forma que b^2 = a.
Vamos a tomar el ejemplo de la raíz de 16, que es +4 y -4 porque + * + = + y - * - = - (y claro, 4 * 4 = 16).
Por esta razón, en la fórmula de las ecuaciones de segundo grado, aparece un + y un - delante de la raíz.
Espero haberte ayudado,
un saludo.
hombre pues el resultado si puede dar negativo pero la raiz de por ejemplo -5 da error, que he leido por ahi algunas cosas que madre mia. no se me parece super interesante tu pregunta. espero que encuentres la respuesta. yo preguntare. suerte
porque cualquier numero elevado al cuadrado sea negativo o positivo, siempre va a dar como resultado un numero positivo
El resultado de una raiz cuadrada siempre sera positivo, nun sera negativo
mira por ejemplo
√9 = 3
osea 3^2 = 9
Se le podria sacar raiz cuadrada a un numero negativo, pero el resultado de esto es un numero imaginario ( esto ya es un poco avanzado) asi q con eso no nos metamos, solo coloca la restrisccion de q no se puede sacara raiz cuadrada a un numero negativo.
Vamos a ver, hombre, no conozco ninguna raíz cuadrada, ni cúbica, cuyo resultado sea negativo. Mas que nada por que la raíz cuadrada es una operación, matemática, que solo utiliza números racionales (es decir positivos) y reales...los número negativos son irracionales e imaginarios.
Por lo tanto, si una raíz cuadrada te da negativo...¡¡¡macho, mira bien lo que hiciste!!!.
Saludos.