En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, por definición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.
Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.
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En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, por definición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.
Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.
Definición
Dos números enteros son coprimos o primos entre sà si su máximo común divisor (mcd) es 1. En tal caso los únicos divisores comunes son -1 y 1.
Esto equivale a decir que la fracción es irreductible (no se puede simplificar).
[escribe] Ejemplos
5 y 7 son coprimos porque son ambos primos (y distintos, desde luego).
11 y 49 son coprimos porque 11 es primo y 49 no es múltiple de 11.
36 y 91 son coprimos porque en la descomposición en factores primos de cada uno, no aparece ningún factor común: 36 = 22Ã32 y 91 = 7Ã13.
234 y 658 no son coprimos porque son ambos pares, y por lo tanto 2 es un divisor común mayor que 1.
Casos muy particulares:
-1 y 1 son primos con todos los enteros.
0 es primo sólo con -1 y 1.
n y n + 1 siempre son coprimos.
[escribe] Propiedades elementales
Si a y b son coprimos entonces su mÃnimo común múltiplo (mcm) es el producto a·b, que es también el menor denominador común de las fracciones irreductible con denominador a y b.
Por ejemplo:
Esto es consecuencia de la relación entre el mcm m y el mcd d: m·d = a·b.
Si a y b son coprimos, entonces lo serán también a y a + b, a y a - b y más generalmente a con a + k·b, con k âZ.
En particular a será coprimo con r, el resto de la división euclidiana de a por b. Este hecho, funamental, es la base del algoritmo de Euclides, el método más rápido de hallar el máximo común divisor y por lo tanto de saber si dos enteros son o no coprimos.
También son llamados números primos y son los que se pueden dividir únicamente entre la unidad (1) y por si mismos. Ejemplo:
5 y 7 son coprimos porque son ambos primos (y distintos, desde luego).
11 y 49 son coprimos porque 11 es primo y 49 no es múltiple de 11.
36 y 91 son coprimos porque en la descomposición en factores primos de cada uno, no aparece ningún factor común: 36 = 22Ã32 y 91 = 7Ã13.
234 y 658 no son coprimos porque son ambos pares, y por lo tanto 2 es un divisor común mayor que 1.
Casos muy particulares:
-1 y 1 son primos con todos los enteros.
0 es primo sólo con -1 y 1.
n y n + 1 siempre son coprimos