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Hola !! Sabemos que el volumen es 256 L (256 litros) = 256 dm³

Base de la caja

       x

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   |       |

   |       |

  x |       | x    Superficie de la base = x²

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      x

Caras laterales de la caja

       x

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   |       |

  y  |       | y    Altura de la caja = y

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      x

El volumen es

V = (Superficie de la base)·(altura)

V = x²·y

Sabemos que

x²·y = 256 ====> y = 256/x²

La superficie total de la caja (sin tapa) es

S = x² + 4xy

Para que la superficie nos quede con una sola variable, reemplazamos "y" por 256/x²

S = x² + 4x·(256/x²)

S = x² + 1024/x

Ahora, derivamos la función S e igualamos a cero la derivada para encontrar los puntos críticos.

S ' = 2x - 1024/x²

2x - 1024/x² = 0

2x = 1024/x²

2x³ = 1024

x³ = 512

x = ∛512

x = 8 (punto crítico)

Para determinar si en x = 8 hay un mínimo, calculamos la derivada segunda y la evaluamos en dicho punto.

S ' ' = 2 + 2048/x³

S ' ' (8) = 2 + 2048/8³ = 6 > 0 ===> hay un mínimo relativo en x = 8

Luego, y = 256/x² = 256/8² = 4

RESPUESTA. Las dimensiones de la caja son:

Lado de la base = 8 dm

Altura = 4 dm

Un saludo!!

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Como la base es un cuadrado, solamente podemos jugar con la altura.

Si los datos son en milimetros

La base tiene que tener de lado 1 mm y la altura 2561 mm, para que pueda tener ese volumen.

Si la base fuese rectangular, cualquiera de estas combinaciones seria correcta:

1 1 2561

1 13 197

1 197 13

1 2561 1

13 1 197

13 197 1

197 1 13

197 13 1

2561 1 1