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Hola Angela, vamos a resolver, la ecuación, paso a paso

(2x - 1)dx + (3y + 7)dy = 0

Forma de una Ecuación Diferencial Exacta

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Mdx + Ndy = 0

➊ Hacemos la Prueba de la Exactitud, para comprobar, si es E.D.E., la cual se cumple

∂M : : ∂N

---- = -------

∂y : : : ∂x

∂M

---- = M = (2x - 1) = 0

∂y

∂N

----- = N = (3y + 7) = 0

∂x

➋ F = C

F = ∫ Ndy + T(x)

F = ∫ (3y + 7) dy + T(x)

F = ∫3y dy + ∫ 7dy + T(x)

F = [³/₂] y² + 7y + T(x) ← ➒

➌ Buscamos T(x)’

: : : :. ∂F

M = --------

: : : : . ∂x

. . . : : : : : : . ∂F

(2x - 1) = -------- [ [³/₂] y² + 7y + T(x) ]

: : : : . . . . . . ∂x

2x – 1 = T(x)’

➍ Despejamos T(x)’

T(x)’ = 2x - 1

➎ Buscamos T(x)

T(x) = ∫ T(x)’ dx

T(x) = ∫ 2x dx - ∫ dx

T(x) = x² - x

➏ Sustituimos [T(x) = x² - x], en ➒

F = [³/₂] y² + 7y + T(x) ← ➒

Este es el Resultado

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C = [³/₂] y² + 7y + x² - x

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Saludos

Hola, sin tantas complicaciones, sin errores y más claro,

Necesitas hallar una solución de la forma: g(x,y) = C

Donde se sabe que:

∂g : : : : : : : : : : : : :∂g

---- = M = (2x - 1) y ----- = N = (3y + 7) : : : : : : (1)

∂x : : : : : : : : : : : : :∂y

Ahora, de tus apuntes de cálculo de varias, tal vez recordarás que las segundas derivadas parciales cruzadas, son iguales, lo que lleva a,

∂²g : : : ∂²g

------- = -------

∂x∂y : : ∂y∂x

∂M : : ∂N

---- = -------

∂y : : : ∂x

Para el ejercicio que tienes,

∂M : : ∂(2x - 1)

---- = ------------- = 0

∂y : : : : ∂y

∂N : : ∂(3y + 7)

---- = ------------- = 0

∂x : : : : ∂x

Por tanto cumple la condición de las segundas derivadas parciales cruzadas.

Ahora, se pueden utilizar cualquiera de las dos ecuaciones en (1) para hallar g(x,y)

Normalmente se busca la más sencilla de integrar, respecto a la variable correspondiente, para este caso resulta igual con ambas. Tomando la primera,

∂g

---- = M = (2x - 1) → ∂g = (2x - 1)∂x → g(x,y) = ∫(2x - 1)dx

∂x

→ g(x,y) = x² - x + k(y)

La constante de integración depende de y (Que se supuso constante al integrar en x)

Para hallar g(x,y) se tomó la primera ecuación de (1) a hora debe verificar que cumple con la segunda ecuación,

∂g

----- = N = (3y + 7)

∂y

: : ∂[x² - x + k(y)]

→ ----------------------- = 3y + 7

: : : : : : ∂y

→ k'(y) = 3y + 7 → k(y) = ∫(3y + 7)dy

→ k(y) = ³/₂y² + 7y

Con lo que finalmente la solución es la ecuación de la forma:

g(x,y) = C

x² - x + ³/₂y² + 7y = C

Saludos, espero te quede todo claro, cualquier duda o inquietud adicional, me puedes contactar,

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