Sin excusas porque te pisas solo, yo creo que hasta la 25 venía fácil y lo màs aburrido por lo extenso de su desarrollo fueron las últimas y que mejor que los gyles que abundan en yahoo, encima confinados en sus habitaciones con doble barbijo y a puro alcohol después de cada ejercicio. Qué PLANDEMIA !!!

Recall the derivative of u^(n) → n * u' * n^(n - 1)

Recall the derivative of (u.v) → (u'.v) + (v'.u)

Recall the derivative of (u/v) → [(u'.v) - (v'.u)]/v²

s = (a + bt)³

s' = 3.(b).(a + bt)²

s' = 3b.(a + bt)²

y = x/(a + bx²) ← it looks like (u/v)

y' = [1.(a + bx²) - (2x).(x)]/(a + bx²)²

y' = [a + bx² - 2x²]/(a + bx²)²

y' = [x².(b - 2) + a]/(a + bx²)²

y = (a + bx²)/x² ← it looks like (u/v)

y' = [(2bx).(x²) - (2x).(a + bx²)]/(x²)²

y' = [2bx³ - 2ax - 2bx³]/x⁴

y' = [- 2ax]/x⁴

y' = - 2a/x³

y = x²/(a + bx²) ← it looks like (u/v)

y' = [(2x).(a + bx²) - (2bx).(x²)]/(a + bx²)²

y' = [2ax + 2bx³ - 2bx³]/(a + bx²)²

y' = 2ax/(a + bx²)²

s=(a+bt)^3

Si aplicás el cubo a ese binomio te queda

s = a^3 + 3a^2bt + 3.a(bt)^2 + (bt)^3

s = a^3 + 3a^2bt + 3.a.b^2t^2 + b^3.t^3

Primero hay que establecer un par de cosas,

s es una función cuya variable es t, s(t)

a y b son constantes

La derivación por cociente incremental te dice que

Dada f(x), su derivada f’(x) = lím(h->0) [f(x +h) – f(x)]/h

Donde h es el incremento que tiende a cero

Aplicada a tu función con su propia variable, te queda

s’(t) = lím(h->0) [s(t +h) – s(t)]/h

Aplicando el incremento a la variable

s’(t) = lím(h->0) [(a^3 + 3a^2.b.(t+h) + 3.a.b^2.(t+h)^2 + b^3.(t+h)^3) – (a^3 + 3a^2bt + 3.a.b^2t^2 + b^3.t^3)]/h

Elevando los binomios correspondientes, al cuadrado y al cubo

s’(t) = lím(h->0) [a^3 + 3a^2.b.t + 3a^2.b.h) + 3.a.b^2.(t^2 + 2.t.h + h^2) + b^3.(t^3 + 3.t^2.h + 3.t.h^2 +h^3) – (a^3 + 3a^2bt + 3.a.b^2t^2 + b^3.t^3)]/h

Aplicando propiedad distributiva

s’(t) = lím(h->0) [a^3 + 3a^2.b.t + 3a^2.b.h) + 3.a.b^2.t^2 + 3.a.b^2.2.t.h + 3.a.b^2. h^2 + b^3.t^3 + b^3.3.t^2.h + b^3.3.t.h^2 + b^3.h^3 – a^3 - 3a^2bt - 3.a.b^2t^2 - b^3.t^3)]/h

Aplicando propiedad cancelativa

s’(t) = lím(h->0) [3a^2.b.h + 3.a.b^2.2.t.h + 3.a.b^2. h^2 + b^3.3.t^2.h + b^3.3.t.h^2 + b^3.h^3]/h

Sacando h factor común

s’(t) = lím(h->0) [3a^2.b + 3.a.b^2.2.t + 3.a.b^2. h + b^3.3.t^2 + b^3.3.t.h + b^3.h^2]/*h/h

Simplificando la h que sacáste factor común en el numerador con la que tenias en el denominador

s’(t) = lím(h->0) [3a^2.b + 3.a.b^2.2.t + 3.a.b^2. h + b^3.3.t^2 + b^3.3.t.h + b^3.h^2]

Cuando h->0 los términos multiplicados por h desaparecen y te queda

s’(t) = 3a^2.b + 3.a.b^2.2.t +  b^3.3.t^2

s’(t) = 3a^2.b + 6.a.b^2.t + 3. b^3.t^2

Si sacás factor común 3b, te queda

3b.[a^2 + 2a.b.t + (b.t)^2]

3b.(a + b.t)^2