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Hola, blackman.

El punto que está sobre el eje de abscisas tiene coordenadas (x₀; 0).

Hay que obtener la expresión de la distancia de este punto a cada una de las rectas e igualar dichas distancias porque el punto equidista de las rectas.

Recordemos que la distancia del punto P(x₀; y₀) a la recta de ecuación ax + by + c = 0 es

. . . .|ax₀ + by₀ + c|

d = ———————

. . . . √(a² + b²)

Entonces, la expresión de la distancia del punto (x₀; 0) a la recta:

■ 4x + 3y + 6 = 0, es

. . . .|4x₀ + 3·0 + 6| . . .|4x₀ + 6|

d = ——————— = ———— . . . . . ➊

. . . . √(4² + 3²) . . . . . . . . 5

■ 3x + 4y - 9 = 0, es

. . . .|3x₀ + 4·0 - 9| . . .|3x₀ - 9|

d = ——————— = ———— . . . . . ➋

. . . . √(3² + 4²) . . . . . . . . 5

Igualamos las expresiones ➊ y ➋

|4x₀ + 6|. . . .|3x₀ - 9|

———— = —————

. . . 5 . . . . . . . 5

Simplificamos los denominadores.

|4x₀ + 6| = |3x₀ - 9|

Si los valores absolutos son iguales, los números dentro de ellos son iguales u opuestos.

4x₀ + 6 = 3x₀ - 9 . . . . . . .o . . . . . . . . . . .4x₀ + 6 = -(3x₀ - 9)

4x₀ - 3x₀ = -9 - 6 . . . . . . .o . . . . . . . . . . .4x₀ + 6 = -3x₀ + 9

x₀ = -15 . . . . . . . . . . . . .o . . . . . . . . . . .4x₀ + 3x₀ = 9 - 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7x₀ = 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x₀ = 3/7

RESPUESTA. Los puntos del eje de abscisas que equidistan de las rectas dadas, son:

(-15, 0) y (3/7; 0)

Un saludo!

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Buscas un punto (X,0), equidistante de r1 y r2.

Se utiliza esta fórmula: d(P,r) = abs(a*X-Y+b) / (RaízCuadrada(a^2+1))

Siendo P=(X,Y), r: y=ax+b

(NOTA: la recta tiene que estar en esa forma para poder usar esta fórmula)

Entonces, basta encontrar P=(X,0) que verifique d(P,r1) = d(P,r2), siendo:

r1: y= (-4/3)*x - 2

r2: y= (-3/4)*x + (9/4)

Te queda una ecuación de primer grado en X que se resuelve sin mayores complicaciones atendiendo a los casos que tengas por culpa del valor absoluto. Te recomiendo que estudies todas las posibilidades, comprobando si son viables o no, es decir, comprobando si cada solución que te salga está en el rango de valores posibles para X.

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