La familia de curvas en este caso es k = 8x - y², cuya derivada implícita es:

0 = 8 - 2y * y'

2y * y' = 8

y' = 4/y

Nota que para que dos trayectorias sean ortogonales, las pendientes de sus rectas tangentes deben ser ortogonales.

Dicho esto, si la pendiente de la curva k = 8x - y² (la pendiente de la recta tangente a esta curva) en un punto (x, y) es m = 4/y, entonces la pendiente de la trayectoria ortogonal a dicha curva y en ese punto es -1/m = -y/4.

Luego, hay que resolver la siguiente ecuación diferencial:

y' = -y/4

Esta ecuación puede resolverse fácilmente por separación de variables.

y/y' = -1/4

ln|y| = -y/4 + C

|y| = e^(-y/4 + C)

|y| = (e^C) e^(-y/4)

y = ±(e^C) e^(-y/4)

Definiendo una nueva variable:

C₁ = ±(e^C)

∴

y = C₁ e^(-y/4)