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Empecemos por decir que una elipse tiene 4 vértices (los 2 del eje mayor y los 2 del eje menor) y 2 focos.

Los datos que nos da el problema son:

V(5, 0)

F(4, 0)

Si cuando dices "sus vértices son 5,0" te refieres a que un vértice está en (5, 0) y otro en (-5, 0), entonces

V '(-5, 0)

Si cuando dices "y focos 4, 0" te refieres a que un foco está en (4, 0) y el otro en (-4, 0), entonces

F'(-4, 0)

Así, la elipse es horizontal porque los focos se encuentran sobre una recta horizontal (o sea que tienen la misma coordenada "y" [y=0]).

Como en este caso los focos y los vértices conocidos son simétricos con respecto al eje Y [comparar 5 vs. -5 y comparar 4 vs. -4], deducimos que el centro de la elipse está en el origen de coordenadas, el punto (0, 0).

Así, la distancia "c" del centro de la elipse a uno de sus focos es

c = | 4 - 0 |

c = | 4 |

c = 4

y por ende, el ancho focal (o distancia entre focos) será

2c = 2(4)

2c = 8

También, la distancia "a" del centro de la elipse a uno de sus vértices es

a = | 5 - 0 |

a = | 5 |

a = 5

Como en toda elipse se debe cumplir la relación

c² = a² - b²

entonces

4² = 5² - b²

b² = 5² - 4²

b² = 25 - 16

b² = 9

√b² = √9

b = 3

Y hemos deducido que el semieje mayor mide 5 unidades (a), que el semieje menor mide 3 unidades (b) y que la distancia del centro al foco es de 4 unidades (c).

La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es de la forma

x² . . y²

--- + ---- = 1

a² . . b²

Colocando en ella los valores conocidos tenemos que

x² . . y²

--- + ---- = 1

5² . . 3²

x² . . .y²

---- + ---- = 1

25 . . 9

Y esa es la ecuación canónica de la elipse que nos dieron.

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Pero como tu enunciado es bastante ambiguo y se puede interpretar que un vértice es

V(5, 0)

y que un foco es

F(4, 0)

sin inferir que el centro está en (0, 0) sino que se encuentra en cualquier punto del eje X que sea menor que 4 [es decir, que se encuentre a la izquierda del foco F que nos dan], entonces dicho centro se encuentra en

C(h, 0), para h < 4

Podemos deducir que la elipse es horizontal, igual que lo hicimos antes. La distancia "c" del centro al foco es

c = | h - 4 |

y la distancia "a" del centro al vértice es

a = | h - 5 |

y al cumplir la relación indicada anteriormente podemos determinar "b":

c² = a² - b²

| h - 4 |² = | h - 5 |² - b²

b² = | h - 5 |² - | h - 4 |²

y como tanto el valor absoluto como su cuadrado son positivos, entonces podemos decir que

b² = (h - 5)² - (h - 4)²

b² = (h² - 10h + 25) - (h² - 8h + 16)

b² = h² - 10h + 25 - h² + 8h - 16

b² = -2h + 9

b² = 9 - 2h

El ancho focal, igual que antes, será

2c = 2| h - 4 |

2c = | 2(h - 4) |

2c = | 2h - 8 |

La ecuación de la elipse horizontal con centro en (h, k) es de la forma

(x - h)² . . (y - k)²

---------- + ----------- = 1

. . a² . . . . . b²

Sabemos que

k = 0

y conocemos los valores de "a" (y por consiguiente, de a²) y de b², entonces podemos reemplazarlos:

(x - h)² . . (y - 0)²

---------- + ----------- = 1

(h - 5)² . . .9 - 2h

(x - h)² . . . .y²

---------- + --------- = 1

(h - 5)² . . 9 - 2h

Y esa sería la ecuación de la elipse. Así, para el caso particular en el que h = 0 [y por ende el centro de la elipse está en (0, 0)], tendríamos que

2c = | 2h - 8 |

2c = | 2(0) - 8 |

2c = | 0 - 8 |

2c = | -8 |

2c = 8

que era el mismo valor que habíamos obtenido de la primera forma, cuando asumimos que el centro estaba efectivamente sobre el origen de coordenadas. También veríamos que la ecuación de la elipse sería

(x - h)² . . . .y²

---------- + --------- = 1

(h - 5)² . . 9 - 2h

(x - 0)² . . . . y²

---------- + ----------- = 1

(0 - 5)² . . 9 - 2(0)

. x² . . . .y²

------ + -------- = 1

(-5)² . . 9 - 0

x² . . .y²

---- + ---- = 1

25 . . 9

que también es la misma ecuación que habíamos deducido inicialmente [cuando dijimos que el centro estaba en (0, 0)].

De esa forma se puede definir la ecuación de cualquier elipse horizontal cuyo centro esté en (h, 0) y en donde h < 4 y además tenga el foco F y el vértice V indicados al principio.

Por ejemplo, si el centro de la elipse estuviese en

C(-2, 0)

[es decir, h = -2]

tendríamos que su distancia focal sería

2c = | 2h - 8 |

2c = | 2(-2) - 8 |

2c = | -4 - 8 |

2c = | -12 |

2c = 12

y su ecuación sería

(x - h)² . . . .y²

---------- + --------- = 1

(h - 5)² . . 9 - 2h

[ x - (-2) ]² . . . . y²

--------------- + ------------ = 1

. (-2 - 5)² . . . 9 - 2(-2)

(x + 2)² . . . . y²

----------- + ----------- = 1

. .(-7)² . . . 9 - (-4)

(x + 2)² . . . y²

----------- + -------- = 1

. .49 . . . . 9 + 4

(x + 2)² . . y²

----------- + ---- = 1

. .49 . . . . 13

Como

a² = 49

entonces

a = 7

Como

2c = 12

entonces

c = 6

Y podemos entonces encontrar las coordenadas del foco F ' y del vértice V ':

F '(h - c, k) = F '(-2 - 6, 0) = F '(-8, 0)

V '(h - a, k) = V '(-2 - 7, 0) = V '(-9, 0)

------

Si ahora pensamos en que

h = 3

entonces el centro de la elipse estará en

C(3, 0)

Su distancia focal será

2c = | 2h - 8 |

2c = | 2(3) - 8 |

2c = | 6 - 8 |

2c = | -2 |

2c = 2

Y su ecuación será

(x - h)² . . . .y²

---------- + --------- = 1

(h - 5)² . . 9 - 2h

(x - 3)² . . . . y²

---------- + ----------- = 1

(3 - 5)² . . 9 - 2(3)

(x - 3)² . . . y²

---------- + -------- = 1

. (-2)² . . . 9 - 6

(x - 3)² . . y²

---------- + ---- = 1

. . 4 . . . . 3

Como

a² = 4

entonces

a = 2

Como

2c = 2

entonces

c = 1

Y podemos entonces encontrar las coordenadas del foco F ' y del vértice V ':

F '(h - c, k) = F '(3 - 1, 0) = F '(2, 0)

V '(h - a, k) = V '(3 - 2, 0) = V '(1, 0)

Y así sucesivamente, para cualquier valor de h (siempre y cuando sea menor que 4).