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Hay un error en lo que has puesto: el resultado correcto sería con una multiplicación al principio (no una suma)

- (1/2)·cosec(x)·cotg(x) - (1/2)·Ln| cosec(x) + cotg(x) |

y como alguien ya te ha dicho... esa es la integral de la "cosecante" al cubo.

Como las dos integrales se hacen igual, usaré el "copia-pega" y te pondré ambas.

∫ sec³x dx

- - - - - - - -

Supondré que conocemos la integral de la secante:

∫ sec(x) dx = Ln| sec(x) + tg(x) |

Si no conoces esta integral, puedes ver como se resuelve "con truco" aquí:

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=200...

o "sin truco" aquí

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=200...

Se puede transformar así

∫ sec³x dx = ∫ sec²x · sec(x) dx

...y la hacemos por partes

u = sec(x) ==> du = tg(x)·sec(x) dx

dv = sec²x ==> v = tg(x)

...quedando

= sec(x)·tg(x) - ∫ tg²x · sec(x) dx

...sabiendo que tg²x = sec²x - 1 tenemos

= sec(x)·tg(x) - ∫ [ sec²x - 1 ] · sec(x) dx

= sec(x)·tg(x) - ∫ sec³x - sec(x) dx

= sec(x)·tg(x) - ∫ sec³x dx + ∫ sec(x) dx

...aplicando el resultado puesto arriba quedaría

∫ sec³x dx = sec(x)·tg(x) - ∫ sec³x dx + Ln| sec(x) + tg(x) |

...poniendo las dos integrales a la izquierda

2·∫ sec³x dx = sec(x)·tg(x) + Ln| sec(x) + tg(x) |

..."despejamos" la integral

∫ sec³x dx = (1/2)·sec(x)·tg(x) + (1/2)·Ln| sec(x) + tg(x) |

∫ cosec³x dx

- - - - - - - - - -

Supondré que conocemos la integral de la cosecante:

∫ cosec(x) dx = Ln| cosec(x) - cotg(x) | = - Ln| cosec(x) + cotg(x) |

∫ cosec³x dx = ∫ cosec²x · cosec(x) dx

...por partes

u = cosec(x) ==> du = - cotg(x)·cosec(x) dx

dv = cosec²x ==> v = - cotg(x)

...obtenemos

= - cosec(x)·cotg(x) - ∫ cotg²x · cosec(x) dx

...sabiendo que cotg²x = cosec²x - 1 tenemos

= - cosec(x)·cotg(x) - ∫ [ cosec²x - 1 ] · cosec(x) dx

= - cosec(x)·cotg(x) - ∫ cosec³x - cosec(x) dx

= - cosec(x)·cotg(x) - ∫ cosec³x dx + ∫ cosec(x) dx

...utilizando la integral de la cosecante de arriba queda

∫ cosec³x dx = - cosec(x)·cotg(x) - ∫ cosec³x dx - Ln| cosec(x) + cotg(x) |

...poniendo las dos integrales a la izquierda

2·∫ cosec³x dx = - cosec(x)·cotg(x) - Ln| cosec(x) + cotg(x) |

..."despejamos" la integral

∫ cosec³x dx = - (1/2)·cosec(x)·cotg(x) - (1/2)·Ln| cosec(x) + cotg(x) |

Estás seguro que se trata de la secante y no de la cosecante?. Y el diferencial es t???

Tenemos:

∫ sec³ x dt

De antemano, ordenamos:

∫ sec³(x) dx

Recordamos las funciones inversas:

∫ dx/cos³(x)

esta integral es directa, y se resuelve así:

∫ dx/cos³(x) = sen(x)/2cos^2(x) + (1/2) ∫ dx/cos(x)

∫ dx/cos³(x) = sen(x)/2cos^2(x) + (1/2)Ln(sec(x) + tg(x)

desarrollando el primer valor, recordando:

sen(m)/cos(m) = tg(m)

=============================

∫ dx/cos³(x) = (1/2)sec(x)tg(x) + (1/2)Ln I sec(x) + tg(x) I + K; donde K es constante de integración

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Para el caso de la cosecante, la integral sale:

∫csc³(x)dx = ∫ dx/sen³(x)

∫dx/sen³(x) = (1/2)csc(x)ctg(x) + (1/2)Ln I csc(x) + ctg(x) I + K

espero sirva de todos modos

haces sec x (sec x) al cuadrado. Te consigues un libro de trigonometria y ves a que equivales sec al cuadrado, lo sistituyes, lo resuelves y listo