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Lamento diferir con tu análisis pero interpreto que el resultado es: NINGUNA pelota.

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Existen dos buenas razones para ello:

1º) En el enlace http://img75.imageshack.us/img75/2296/demo219gk3.g... te he dejado un diagrama del problema donde se observa que las dimensiones de la pelota exceden a las de la piscina.

2º) Y la segunda razón es que una evaluación algebraica conduce a la misma conclusión. Veámosla:

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El propio diagrama al que hacía mención nos brinda una idea de como analizar:

a) Determinemos la ecuación de la recta que pasando por el origen de coordenadas, constituye la "pared lateral superior izquierda" de la piscina.

Por ser un hexágono, sabemos que el ángulo que la recta forma con el eje "x" es de 60º. Luego su ecuación será:

y = (tan 60).x = √(3) . x (i)

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b) La ecuación que representa a la pelota es la de una circunferencia de radio conocido (3,5 cm) pero de centro con abscisa desconocida. O sea:

(x - a)² + y² = R² (ii)

donde:

R = 3,5 cm

a : nuestra incógnita

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Y el valor de "a" debe ser tal que sólo exista una intersección entre (i) y (ii). O sea:

(x - a)² + y² = R² ---> [de (i)] ---> (x - a)² + [√(3).x]² = R² --->

x² - 2a.x + a² + 3x² - R² = 0 --->

4x² - 2a.x + (a² - R²) = 0 (iii)

Por ser (iii) una cuadrática, existirá una sola intersección cuando el discriminante sea nulo. Calculémoslo:

Discrim = 4a² - 16.(a² - R²) = 16R² - 12a² = 4.(4R² - 3a²) = 0 --->

a = [2/√(3)].R = [2/√(3)].3,5 = 4,0415 cm (iv)

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En resumen:

La simetría hexagonal de la pileta nos permite afirmar que su centro está en: (3.6, 0).

Mientras que de (iv) concluímos que el centro de la pelota deberá estar en: (4.0415, 0).

Así vemos como ninguna pelota puede introducirse en la piscina hexagonal.

Saludos

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