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1.- (2x^1/2y^1/2-y)dx - xdy = 0 ∫ √

[2√(xy) - y]dx = xdy;

y=ux; dy=xdu + udx;

[2√(x^2u) - ux]dx = x(xdu + udx);

(2x√u)dx - uxdx = x^2du + uxdx; divido por x:

(2√u)dx - udx = xdu + udx;

(2√u)dx - 2udx = xdu

2(√u - u)dx = xdu;

2dx/x = du / (√u - u); CDV a la derecha: v=√u; dv= du/2v; du=2v*dv;

2dx/x = = 2vdv/ (v - v^2);

dx/x = dv/ (1 - v); CDV= w=1-v; dw = -dv;

dx/x = -dw/w; integro ambos lados:

ln|x| = -ln|w| + C; Hacemos C=ln|A|; que también es una constante:

ln|x| = -ln|w| + ln|A|;

ln|x| = ln|A/w|;

x = A/w; devuelvo variables:

x= A/(1-v)

x= A/(1-√u): además, si: y=ux;; u=y/x:

x = A/ [1- √(y/x)]; puedo despejar y:

1- √(y/x) = A/x

1 - (A/x) = √(y/x);

[1 - (A/x)]^2 = y/x;

y = x * [1 - (A/x)]^2; que es tu primera respuesta.

2.- -ydx + (x + √(xy))dy = 0

u=y/x; y=ux; dy==xdu + udx;

-uxdx + (x + x√u)(xdu + udx) = 0; divido por x:

-udx + (1 + √u)(xdu + udx) = 0;

-udx + udx + u√udx + xdu + x√udu = 0;

u√udx + xdu + x√udu = 0;

u√udx + x(1 + √u)du = 0;

x(1 + √u)du = -u√udx;

[(1 + √u) / u√u] du = -dx/x; división larga a la izquierda:

(du/ u√u) + (du/u) = -dx/x; o:

[u^(-3/2)*du] + (du/u) = -dx/x; integro:

-2/√u + ln|u| = -ln|x| + C; hagamos C=ln|A|, que también es una constante, y además. -ln|e^(2/√u)| + ln|u| a la izquierda:

ln |u√u / e^2| = ln |A/x|; simplifico:

u√u / e^2 = A/x;

u√u = e^2A /x; pero como e^2A también es una constante, podemos llamarla B:

u^(3/2) = B/x; devuelvo variable:

(y/x)^(3/2) = B/x;

y^(3/2) = B√x;

y^3 = Bx;

y = ∛(Bx);

3.- (x + 4y) dx + 2xdx = 0; supongo que hay un error y es 2xdy;

(x + 4y) dx + 2xdy = 0; y=ux; dy=xdu + udx;

(x + 4ux)*dx + 2x(xdu + udx) = 0; divido por x:

(1 + 4u)*dx + 2(xdu + udx) = 0;

(1 + 4u)*dx + 2xdu + 2udx = 0;

(1 + 6u)*dx + 2xdu = 0;

(1 + 6u)*dx = -2xdu;

dx/x = -2du/(1+6u); integro;

a la derecha: CDV: s=(1+6u); ds=6du; du=ds/6; reemplazo:

dx/x = (-1/3) ds/s;

ln|x| = (-1/3) ln|s| + C; Hacemos: C=ln|A|;

ln|x| = (-1/3) ln|s| + ln|A|;

ln|x| = ln | 3A|;

x = 3A; o: Si B=3A:

x=A

4.- xdy - ydx = √(x^2 + y^2)dx --------------y= 0; x= 1/2

y=ux; dy=xdu + udx;

x(xdu + udx) - uxdx = √[x^2 + (ux)^2]dx;

x(xdu + udx) - uxdx = x√(1 + u^2)dx; divido por x:

(xdu + udx) - udx = √(1 + u^2)dx;

xdu = √(1 + u^2)dx;

du / √(1 + u^2) = dx / x; son dos integrales directas:

ln |u + √(1 + u^2)| = ln|x| + C;

ln |u + √(1 + u^2)| = ln|x| + Ln|A|;

ln |u + √(1 + u^2)| = ln|Ax|;

u + √(1 + u^2) = Ax; devuelvo variable:

(x/y) + √[1 + (x/y)^2) = Ax; que es tu respuesta en forma implícita.

5.- (x^2 + xy - y^2)dx + xydy = 0

y=ux; dy=xdu + udx;

(x^2 + xux - (ux)^2)dx + xux(xdu + udx) = 0; divido por x^2:

(1 + u - (u)^2)dx + u(xdu + udx) = 0;

(1 + u - (u)^2)dx + xudu + u^2dx = 0;

(1 + u )dx + xudu = 0;

(1 + u )dx = - xudu;

dx/x = -udu / (u+1); CDV: t=u+1; dt=du; u=t-1; reemplazo:

dx/x = (1-t)dt / t;

dx/x = [(1/t) -1]dt;

ln|x| = ln|t| - t + C; C=ln|A|; t= ln|e^t|;

ln|x| = ln| (t + A) / e^(t)|;

x = (t + A) / e^(t); devuelvo segunda variable:

x = (u+1 + A) / e^(u+1); devuelvo primera variable:

x = [(y/x)+1 + A] / e^[(y/x)+1]; hacemos B=A+1;

x = [(y/x)+B] / e^[(y/x)+1]; que es tu última respuesta en forma implícita.

O.O

Que "Dios" te ampare, amigo mio...

¿La 3 es (x + 4y) dx + 2xdy = 0?

No le hago la tarea a los demas.