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Sea X la matriz definida de la siguiente manera:

. . . [ x1 ]

X = [ x2 ]

. . . [ x3 ]

Realizamos la multiplicación AX y queda:

. . . . [ . x1 + 2x2 - x3 . ]

AX = [ . . . x1 + x3 . . . ] . . . . (i)

. . . . [ 4x1 - 4x2 + 5x3 ]

Ahora multiplicamos el escalar 3 por la matriz X, quedando

. . . . [ 3x1 ]

3X = [ 3x2 ] . . . . . (ii)

. . . . [ 3x3 ]

El problema nos dice que (i) = (ii), entonces igualando término a término de las matrices nos queda que

x1 + 2x2 - x3 = 3x1 . . . . . (a)

x1 + x3 = 3x2 . . . . . . . . . (b)

4x1 - 4x2 + 5x3 = 3x3 . . . (c)

Operando,

2x1 - 2x2 + x3 = 0 . . . . (a')

x1 - 3x2 + x3 = 0 . . . . . (b')

4x1 - 4x2 + 2x3 = 0 . . . (c')

Y así, el problema se ha convertido en resolver un sistema de 3 ecuaciones [ (a'), (b') y (c') ] con 3 incógnitas (x1, x2 y x3).

De (b') podemos afirmar que

x1 = 3x2 - x3

y reemplazando este valor en (a') y (c') nos queda

2(3x2 - x3) - 2x2 + x3 = 0

4(3x2 - x3) - 4x2 + 2x3 = 0

6x2 - 2x3 - 2x2 + x3 = 0

12x2 - 4x3 - 4x2 + 2x3 = 0

4x2 - x3 = 0 . . . . . (a")

8x2 - 2x3 = 0 . . . . (c")

De (a"),

4x2 = x3

y reemplazando en (c"),

8x2 - 2(4x2) = 0

8x2 - 8x2 = 0

0 = 0

lo que significa que x2 puede tomar cualquier valor. Supongamos que

x2 = -2

entonces al reemplazar este valor para hallar el de x3 resulta

4(-2) = x3

-8 = x3

Finalmente reemplazamos estos dos valores en alguna de las ecuaciones iniciales (a'), (b') o (c') para obtener el de x1. Por ejemplo, en (b'):

x1 - 3(-2) + (-8) = 0

x1 + 6 - 8 = 0

x1 - 2 = 0

x1 = 2

Y así, una posible solución es

. . . [ 2 .]

X = [ -2 ]

. . . [ -8 ]

Se tienen, por tanto, infinitas soluciones no nulas al problema. Basta con dar distintos valores a x2 y reemplazar, como lo hicimos arriba.

Y pero pensa que T, se refiere a matriz traspuesta..., es decir... l. a. primer fila, pasa a ser l. a. primer columna, l. a. 2da fila, pasa a 2da columna... and so on. por lo tanto, 4, -a million y a million/2, eran l. a. 1er columna y 6, -a million y a million eran l. a. 2da columna

Para que lo veas más fácil, se trata de un problema de vectores propios o autovectores y la idea es resolver la ecuación matricial:

Ax = 3x

Ax - 3x =0

(A - 3I)x =0

Te resulta un sistema homogéneo y con la solución del mismo, tienes las componentes de tu matriz 3x1

1 2 -1

1 0 1

4 -4 5

primero se toma del reglon 1 y la columna 1 el numero que se encuentre en este caso ese numero es 1 y se tapa la columna donde esta el 1 y el reglon donde esta este 1 quedando y ese 1 multiplicado a lo que queda en este caso quedaria asi donde el 1 mulitiplica a todo esto | 0 1|

|-4 5|

ahora para resolver esto se multiplican de manera cruzada todo multiplicado por 1

1[(0)(5) y siempre se resta despues entonces -(-4)(1)] se resuelven estas operaciones y se multiplica por 1 y ya despues tapamos la segunda columa y el primer renglon siendo el numero el 2 pero al resultado anterior ahora se le resta primero es + luego - luego + y asi sucesivamente

=1[(0)(5)-(-4)(1)]- 2[(1)(5)-(1)(4)] + -1[(1)(-4)-(4)(0)]

=1[ 0 +4] - 2[5 -4] -1[ -4 -0]

= 4 -2 +4

=6